Línea isostática

En mecánica de sólidos, una línea isostática es una curva diferenciable tal que para un sólido sometido a un campo de tensiones, en cada punto la tangente a dicha curva coincide con una de las direcciones principales de tensión del cuerpo.Es decir, si en cada punto del sólidos se calculan las tres direcciones principales y se ordenan en cada punto de mayor a menor, una familia de isostáticas corresponde a la "línea del campo" asociada al campo vectorial que en cada punto se corresponde con la primera, segunda o tercera tensión principal.Matemáticamente, las isostáticas son las curvas integrales de dicho campo.Las isostáticas tienen las propiedades generales de otras tipos de "líneas de campo" o curvas integrales.Dada una familia de isostáticas estas líneas no se cortan en ningún punto a menos que la tensión se anule.Dado un plano representado mediante pares de coordenadas cartesianas (x, y) y estad elástico plano el ángulo θ formado por la mayor tensión principal y el eje X viene dado por:tan ⁡ 2 θ =2 tan ⁡ θ{\displaystyle \tan 2\theta ={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}={\frac {2\sigma _{xy}}{\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}}}De ahí puede deducirse la forma y(x) de las isostáticas para un estado de elasticidad plana:d y{\displaystyle \tan {\frac {dy}{dx}}=\theta \quad \Rightarrow \quad \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+{\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{\sigma _{xy}}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)-1=0}por lo que existen dos familias diferentes de isostáticas cada una de ella ortogonal en cada punto a la otra dadas por:[1]​{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2\sigma _{xy}}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2\sigma _{xy}}}\right)^{2}+1}}}