José Cantón debutó como futbolista profesional en 1956 a los diecinueve años de edad con el C. D. Basconia.
Tras dos temporadas en el club, fichó por el Racing de Santander, con quien jugó diecisiete partidos y marcó cinco goles.
En 1960 fichó por el C. D. San Fernando, donde jugó los cuatro años siguientes, dejando el club en 1964, año en el que el equipo descendió a Tercera División de España.
Tras un breve paso por el C. F. Reus Deportiu, José Cantón fichó por el Club Gimnàstic de Tarragona durante una temporada, en la que ganó la Tercera División.
[1] Tras su retiro, el Puerto Real C. F. le fichó como entrenador durante las tres siguientes temporadas.