Su padre es el entrenador Jean-Pierre Élissalde y su abuelo materno; Laurent Bidart también fue internacional con Les Blues.

Jean-Baptiste debutó en primera en 1997 siendo su padre entrenador del Stade Rochelais.

Debido al Mundial de Nueva Zelanda 2011 jugó un año más ya que la FFR comenzó la preparación de sus jugadores meses antes y el Stade Toulousain vio afectado a su medio scrum.

Élissalde jugó un solo Mundial; Francia 2007 donde Les Blues eran los favoritos pero trompezaron en la inauguración del torneo cayendo derrotados por Argentina 12-17 y terminaron segundos en el grupo.

En un partido memorable, ganaron a los All Blacks 20-18 (éste fue el peor mundial de Nueva Zelanda), en semifinales enfrentaron a los vigentes campeones del mundo: el XV de la Rosa, siendo vencidos 9-14 y nuevamente perdieron ante los Pumas 10-34 por el tercer puesto.