Shaw estuvo en Bierton, Buckinghamshire y fue educado en el Magdalen Hall, Oxford, recibiendo su M.A.

En 1786 se hizo disertante auxiliar en botánica en la Universidad de Oxford.

Él se dio cuenta de que la mayoría de los artículos que donó al Museo Hans Sloane estaban en muy malas condiciones.

El material médico y anatómico que se envió al Museo de la Royal College of Surgeons, animales taxidermizados estaban tan deteriorados que debieron ser quemados.

El nombre Shaw o G.Shaw es aplicado a la nomenclatura de las especies que describió.