En la microeconomía, la función de gasto describe la cantidad mínima de dinero que un individuo necesita para lograr un cierto nivel de utilidad, dada una función de utilidad y precios.
[1] Formalmente, si hay una función de utilidad
que describe las preferencias sobre las
mercancías, la función de gasto establece qué cantidad de dinero se necesita para lograr una utilidad
Esta función es definida por donde es el conjunto de todas las canastas que dan utilidad al menos tan buena como
Expresado de manera equivalente, el individuo minimiza el gasto
sujeto a la restricción de utilidad mínima que
dando cantidades óptimas para consumir de los distintos bienes como
y los precios; entonces la función de gasto es: Suponga que
es una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no saciada º en
es Pruebas (1) Como en la proposición anterior, nótese queː
e ( λ p , u ) =
{\displaystyle p\cdot x=\lambda e(p,u)}
{\displaystyle e(p^{\prime },u)=p^{\prime }\cdot x\geq p\cdot x}
De ello procede que
Para la segunda afirmación, supongamos por el contrario que para algunas
) ≤ e ( p , u )
x ∈ h ( p , u )
{\displaystyle x\in h(p,u)}
que genera las funciones de demanda[2] donde
es el ingreso del consumidor.
Una manera de encontrar la función de gasto es encontrar primero la función de utilidad indirecta e invertirla.
La función de utilidad indirecta
se encuentra reemplazando las cantidades en la función de utilidad con las funciones de demanda, por tanto: donde
De esta manera, dado que
{\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I}
, cuando el consumidor optimiza, podemos invertir la función de utilidad indirecta para encontrar la función de gasto: Alternativamente, la función de gasto puede encontrarse solucionando el problema de minimización
sujeto a la restricción
Esto produce funciones de demanda condicionadas
Por tanto, la función de gasto es