Función de gasto

En la microeconomía, la función de gasto describe la cantidad mínima de dinero que un individuo necesita para lograr un cierto nivel de utilidad, dada una función de utilidad y precios.[1]​ Formalmente, si hay una función de utilidadque describe las preferencias sobre lasmercancías, la función de gasto establece qué cantidad de dinero se necesita para lograr una utilidadEsta función es definida por donde es el conjunto de todas las canastas que dan utilidad al menos tan buena comoExpresado de manera equivalente, el individuo minimiza el gastosujeto a la restricción de utilidad mínima quedando cantidades óptimas para consumir de los distintos bienes comoy los precios; entonces la función de gasto es: Suponga quees una función de utilidad continua que representa una relación de preferencia localmente no saciada º en{\displaystyle e(p,u)}es Pruebas (1) Como en la proposición anterior, nótese queːe ( λ p , u ) ={\displaystyle p\cdot x=\lambda e(p,u)}De ello procede quePara la segunda afirmación, supongamos por el contrario que para algunas) ≤ e ( p , u )x ∈ h ( p , u ){\displaystyle x\in h(p,u)}{\displaystyle p\cdot x\geq e(p,u)}que genera las funciones de demanda[2]​ dondeUna manera de encontrar la función de gasto es encontrar primero la función de utilidad indirecta e invertirla.La función de utilidad indirectase encuentra reemplazando las cantidades en la función de utilidad con las funciones de demanda, por tanto: dondeDe esta manera, dado que{\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I}, cuando el consumidor optimiza, podemos invertir la función de utilidad indirecta para encontrar la función de gasto: Alternativamente, la función de gasto puede encontrarse solucionando el problema de minimizaciónsujeto a la restricciónEsto produce funciones de demanda condicionadasPor tanto, la función de gasto es