Pese a su origen danés, Arnesen comenzó jugando en las categorías inferiores del Ajax.

Arnesen comenzó jugando en el AFC Ajax, uniéndose al equipo en noviembre o diciembre de 1975.

En su carrera con el Ajax, Arnesen tuvo un rendimiento increíble, tanto a nivel personal como de equipo.

En el conjunto "ché", Arnesen no tuvo demasiadas participaciones, y dos temporadas después se trasladó a Bélgica para fichar por el Anderlecht.

Tras otras dos temporadas con los belgas, Arnesen retornó a los Países Bajos para fichar por los eternos enemigos del Ajax, el PSV Eindhoven.