Su padre trabajó como ingeniero naval, antes de retirarse y mudarse a Welwyn Garden City.

En 1946, fue nominada al Óscar a la mejor actriz de reparto por su papel en Saratoga Trunk.

Luego de la Segunda Guerra Mundial, Robson apareció en las películas Holiday Camp, Narciso negro, Goodtime Girl y Saraband for Dead Lovers.

Robson continuó actuando incluso después de cumplir 80 años, especialmente para telefilmes estadounidenses, aunque también realizó algunos trabajos para la televisión británica.

Asimismo, continuó su trabajo teatral en West End, apareciendo en obras como Ring Round the Moon, John Gabriel Borkman, La importancia de llamarse Ernesto y Las tres hermanas.