Una estrategia totalmente mixta es aquella en la que el jugador asigna una probabilidad estrictamente positiva a cada estrategia pura.
Las estrategias totalmente mixtas son importantes para el refinamiento del equilibrio de Nash.
Los matemáticos que se dedican a la teoría de juegos han llegado a representar formalmente algunos juegos mediante una tabla rectangular o producto cartesiano de conjuntos.
el conjunto de estrategias puras del jugador j y a
la función de pago del jugador j. A veces por comodidad se usará una sola función de pago que consistirá en considerar cada
como la j-ésima componente de un vector N-dimensional, es decir, se considerará un juego rectangular
es una estrategia mixta del jugador j, si para toda
denota el número de estrategias puras del jugador j. Intuitivamente, una estrategia mixta es un vector que asocia cierta probabilidad a cada estrategia pura del jugador j, de ahí que cada entrada tenga que ser no negativa y la suma de todas ellas sea 1.
se interpreta como el peso o probabilidad que el jugador j le asocia a su estrategia pura
denotará al conjunto de estrategias mixtas del jugador j y M al producto cartesiano de los conjuntos
En particular, podemos considerar una estrategia mixta de la forma
De aquí que exista implícitamente una suposición de independencia en la toma de decisiones, es decir, aunque los jugadores puedan llegar a hacer pactos, al momento de tomar su decisión no hay ninguna fuerza externa que los haga mantener su promesa.
Denotaremos la función de pago esperado del jugador j como
Estas funciones son importantes tanto en la teoría como en la práctica, pues están estrechamente relacionadas con los equilibrios de Nash.
Fue John Forbes Nash en su tesis de doctorado quien demostró que cualquier juego rectangular finito tiene al menos un equilibrio de Nash en estrategias mixtas (la existencia de equilibrios no necesariamente se da para las estrategias puras).
Los equilibrios de Nash tienen importancia crucial en la teoría de juegos ya que corresponden a estrategias estables.
En él, un jugador elige las filas y otro las columnas.
Si el de las filas opta por jugar A con probabilidad 1 (es decir, juega A seguro), entonces está jugando una estrategia pura.
Si el de las columnas elige lanzar una moneda y jugar A si sale cara y B si sale cruz, entonces está jugando una estrategia mixta.
Consideremos el juego piedra, papel o tijera con la matriz de pagos dada por: Supongamos que el jugador 1 juega siempre en estrategias puras, por ejemplo piedra.
Entonces el jugador 2 podría sacar ventaja de ello jugando siempre papel.
Una mejor respuesta del jugador 1 sería entonces jugar con estrategias mixtas, es decir, asignarle cierta probabilidad a cada estrategia y en cada jugada elegir aleatoriamente de acuerdo a la distribución elegida.
Puede demostrarse que siempre que haya sesgo en estas probabilidades (es decir, cuando se le asigne más probabilidad a una estrategia que a otra), el otro jugador puede sacar ventaja de ello y mejorar su pago esperado.
De este modo, el juego sólo tiene un equilibrio de Nash y es (1/3,1/3,1/3), es decir, jugar con igual probabilidad cada estrategia (siempre y cuando se mantengan los pagos dados por la matriz).
Las estrategias mixtas tienen otras interpretaciones además de la frecuencia con la que se elige cada estrategia pura a lo largo de distintos juegos.
Consideremos una empresa que tiene el monopolio de un producto y una recién llegada que quiere entrar a competir por dicho mercado.
Justo antes de que la nueva empresa entre al mercado, el monopolio decide lanzar una campaña de publicidad, para la cual existen tres opciones: Regalar productos (con un costo x), anunciarse en la prensa escrita (con un costo y) o anunciarse en medios electrónicos (con un costo z).
La matriz de pagos del juego está dada como sigue: Si el monopolio jugara en estrategias puras dedicaría todo el capital disponible para una de las estrategias.
Podemos pensar en cambio que el monopolio tiene la opción de no hacerse publicidad en un solo medio, sino repartir el dinero disponible en dos o más de las estrategias.
Por ejemplo, la estrategia mixta (1/2,1/4,1/4) significa que el monopolio gastó x/2 en regalar muestras, y/4 en medios escritos y z/4 en medios electrónicos.