Cuando era niño, Iturriaga no recibió ninguna formación musical formal, pero la música estaba siempre presente en la casa de la familia.

Su abuela y sus primos mayores solían tocar el piano durante las reuniones familiares, despertando el interés de Enrique en la música desde una temprana edad, y su padre también lo animó a que tocara el piano.

El joven Iturriaga aprendió a tocar la música popular como valses criollos, marineras, tangos, jazz, todo de oído.

[2]​ En abril de 1957 obtuvo el premio Juan Landaeta por su obra Suite para orquesta, en el concurso convocado por el segundo Festival latinoamericano en Caracas.

[4]​ El jurado estaba conformado por Aaron Copland, Alberto Ginastera, Carlos Chávez, Domingo Santa Cruz Wilson y Juan Bautista Plaza.

Ese mismo año fue llamado como profesor al Conservatorio Nacional de Música.

[7]​[8]​ En 1965, el comité para el tercer Festival Iberoamericano de Washington D. C. le encargó una obra sinfónica: Iturriaga compuso Vivencias —cuatro piezas para orquesta— que fuera estrenada por Lukas Foss y la Orquesta Filarmónica de Búfalo, Nueva York.

En 1999 se le eligió como director general del Conservatorio Nacional de Música.

[4]​ Iturriaga cosechó reconocimiento desde temprano, cuando en 1947 obtuvo el Premio Dunker Lavalle por su obra para voz y orquesta Canción y muerte de Rolando, inspirada en el conocido poema de Jorge Eduardo Eielson.