Dražen nació en un matrimonio mixto (padre bosnio y madre croata).

Participó en los Juegos Olímpicos en tres ocasiones y fue determinante en el equipo nacional yugoslavo que consiguió la medalla de oro en los Juegos Olímpicos de 1980.

Mientras jugaba en el Partizan Belgrado fue nombrado Jugador Europeo del Año en tres temporadas la: 1977, 1978 y 1980.

Desde que dejó de jugar profesionalmente al baloncesto, Dalipagić ha vivido en Belgrado.

Fue presidente del club de baloncesto Novi Beograd (Atlas).