Desigualdad de Bernoulli

La desigualdad de Bernoulli es aquella que se establece entre números reales.

[1]​ (Desigualdad de Bernoulli) Para cualquier número real

y cualquier número entero

y la igualdad se obtiene si y sólo si x=0 o n=1.

La desigualdad de Bernoulli tiene generalizaciones y variantes:

La desigualdad de Bernoulli es de particular relevancia pues en numerosas ocasiones funciona como lema intermedio en la prueba de resultados de cálculo más complejos.

La demostración se efectúa únicamente para n, número natural.

Para n = 1, lo cual es equivalente a 1+x ≥ 1+x Ahora, supóngase que el enunciado es válido para n = k: Luego se probará para n = k+1: Sin embargo, como 1 + (k + 1)x + kx2 ≥ 1 + (k + 1)x (porque kx2 ≥ 0), se tiene que (1 + x)k + 1 ≥ 1 + (k + 1)x, lo cual significa que el enunciado es cierto para n = k + 1.

Por inducción se concluye que el enunciado es cierto para todo  n ≥ 1.