El coeficiente de correlación parcial de primer orden, anotado aquí
, permite conocer el valor de la correlación entre dos variables A y B, si la variable C había permanecido constante para la serie de observaciones consideradas.
es el coeficiente de correlación total entre las variables A y B cuando se les retiró su mejor explicación lineal en término de C. La correlación parcial de A y B, manteniendo C constante viene dada por:
donde: La demostración más rápida de la fórmula consiste en apoyarse en la interpretación geométrica de la correlación (coseno).
Las series de observaciones A, B y C, una vez centradas reducidas, son vectores centrados OA, el OB, OC de longitud unidad: Sus extremidades determinan un triángulo esférico ABC, el que los lados a, b y c " son los arcos de grandes círculo BC, AC y AB.
Los coeficientes de correlaciones entre estos vectores son
= c o s ( a )
= c o s ( b )
Entonces la ley fundamental de los triángulos esféricos da, para el ángulo C, la relación siguiente entra coseno:
{\displaystyle \cos(C)={\dfrac {\cos(c)-\cos(a)\cos(b)}{\sin(a)\sin(b)}}={\dfrac {\cos(c)-\cos(a)\cos(b)}{{\sqrt {1-\cos ^{2}(a)}}{\sqrt {1-\cos ^{2}(b)}}}}}
Lo mismo que c está el ángulo entre los puntos A y B, vistos por el centro de la esfera, C está el ángulo esférico entre los puntos A y B, vistos por el punto " C " en la superficie de la esfera, y
es la « correlación parcial » entre A y B cuando C es fijado.
"The distribution of the partial correlation coefficient".