Después de su formación, llegó a un acuerdo con el Espérance Sportive Troyes Aube Champagne donde finalmente firmó su primer contrato profesional en el verano de 2008.
Después de su primera temporada como profesional y mientras el Troyes bajó a la Championnat National, Claudio quiere dejar el club, pero el club Troyes se niega a dejarlo ir.
En su tercer partido como jugador del Celta marcó su primer gol ante el Sevilla, poniendo el empate a uno.
En la temporada 2017-2018 jugó cedido en el Club Deportivo Leganés donde anotaría 3 goles.
Un año después, ya de vuelta en el Celta, el club apartaría a Beauvue del club, donde no iría convocado en ningún partido de la pretemporada, aun así, y ante la presión del club para que se marchara en el mercado de verano, Claudio no abandonó el equipo.
Al empezar la temporada Beauvue no iría convocado a ningún partido, en la jornada 10 de la liga, Beauvue sufriría una grave lesión en el entrenamiento, quitándole cualquier posibilidad de ir convocado.