Cox, el menor de cinco hermanos, nació en Londres, Inglaterra y se crio en East Sussex.

[3]​ Cox se crio como católico[4]​[5]​ y se educó en dos internados independientes: Ashdown House en el pueblo de Forest Row en East Sussex y Sherborne School en la ciudad comercial de Sherborne en Dorset.

[1]​ Cox interpretó su primer papel profesional significativo a los dieciocho años en el thriller psicológico Dot the i, estrenado en 2003.

Después del rodaje, se matriculó en la Bristol Old Vic Theatre School.

[12]​ Luego fue visto en la película Stone of Destiny de 2008 como Ian Hamilton, y en el drama histórico de 2009, Glorious 39, que se estrenaron ampliamente en el Reino Unido.

También en 2011, firmó para un papel recurrente en la segunda temporada de la serie original de HBO producida por Martin Scorsese, Boardwalk Empire como Owen Sleater, un ejecutor irlandés vinculado al IRA.

En 2013, protagonizó la película independiente Hello Carter y el thriller de BBC, Cold War Legacy.

[17]​ Su actuación fue elogiada y recibió un premio Helen Keller Achievement Award por su papel por parte de la American Foundation for the Blind.

Cox ha dicho que, si tuviera la oportunidad, estaría interesado en retomando el papel en un proyecto futuro,[21]​ también señalando sus obligaciones contractuales con Marvel Studios para hacerlo.

[33]​ Más tarde ese mes, Cox repitió su papel de Matt Murdock en la película del UCM, Spider-Man: No Way Home (2021).

[34]​[35]​ La primera producción de Marvel Studios en la que apareció fue Spider-Man: No Way Home (2021),[36]​ donde Matt Murdock da consejo legal a Peter Parker por aparentemente asesinar a Mysterio.