Barnicoat comenzó su carrera en el automovilismo en el karting a la edad de nueve años.

En 2009 ganó tanto el Kartmasters GP como el Formula Kart Stars y quedó segundo en el Super One Junior Championship.

En 2012 también se proclamó campeón del Campeonato de Europa CIK-FIA KF2.

Además, también condujo tres fines de semana de carreras para el equipo en la Fórmula Renault 2.0 Alpes, donde terminó decimocuarto en el campeonato con 32 puntos con un cuarto puesto en Spa-Francorchamps como mejor resultado.

Para cerrar la temporada, hizo su debut en el BRDC Formula 4 Autumn Trophy y se convirtió en campeón con tres victorias en ocho carreras.