Comenzó su carrera deportiva como especialista en pruebas de velocidad y vallas.
Posteriormente en los Juegos Olímpicos de Tokio 1964 era una de las favoritas para ganar la medalla de oro en su evento favorito, los 400 metros y decidió participar también en los 800 metros, una distancia en la que solo había participado en unas pocas carreras anteriormente, y donde no tenía una marca destacada.
En los 400 metros hizo una gran carrera, pero fue batida por la australiana Betty Cuthbert (que hizo 52,0), y tuvo que conformarse con la medalla de plata, aunque batiendo el récord de Europa con 52,2 Decepcionada con este segundo puesto, concentró todas sus energías en los 800 metros.
Packer tuvo una salida bastante lenta, y al paso por los primeros 400 metros ocupaba la sexta posición, a partir de ahí fue remontando posiciones y a falta de 200 metros ya era tercera, en el sprint final acabó llevándose el triunfo y batiendo además el récord mundial con 2:01,1.
La medalla de plata fue para la francesa Dupureur (2:01,9) y el bronce para la neozelandesa Marise Chamberlain (2:02,8) Tras su éxito olímpico, se retiró definitivamente del atletismo, pese a tener solo 22 años.