Allan McGraw inició su carrera profesional con el equipo Greenock Morton.
Jugando en la Segunda División, estableció el récord escocés de más goles anotados en una temporada.
Finalizó como el goleador del Morton durante cinco temporadas consecutivas, apareciendo en la final de Copa en 1963.
McGraw había salido en camilla durante el partido de semifinales, pero regresó al campo más tarde pero como Hibs había utilizado un sustituto ya no pudo seguir jugando.
Jugaría más tarde para el Linfield por una temporada y regresaría al Morton sin aparecer en un partido de la liga.