Los hermanos mayores de Mac Allister, Francis y Kevin, también son futbolistas.

[4]​ Alexis se mudó a la Ciudad de Buenos Aires a los 7 años y asistió al Colegio IEA (Instituto Evangélico Americano) ubicado en el Barrio de Villa del Parque.

Su debut profesional con Argentinos llegó en la Primera B Nacional en octubre de 2016 frente a Central Córdoba.

Posteriormente hizo su primera aparición en la Superliga Argentina 2017-18, el 9 de septiembre contra Patronato.

Lo único que no permitió su llegada al club fue la cifra de su valor en el mercado (8.500.000 €).

El 6 de julio marcó su primer gol con el Xeneize en el partido amistoso que Boca disputó con Chivas.

En el Brighton logró llevar al equipo a su mejor posición histórica (6°) en la Premier League, con 10 goles marcados en 32 partidos, y clasificando para la Europa League por primera vez en la historia de la institución.

[12]​Su debut se produjo en un amistoso frente al Karlsruher SC dónde logró una asistencia para el último gol del encuentro.

A pesar de quedar como figura y representante del equipo en el torneo, la Selección no logró clasificar a los cuartos de final y quedó eliminada en primera ronda.

Argentina ganaría 4-2 por penales frente a Francia y se consagraría así campeón del mundo.