Úngula
En geometría del espacio, una úngula es una región de un sólido de revolución, cortada por un plano oblicuo a su base.
[1] Un ejemplo común es la cuña esférica.
El término "úngula" se refiere a la pezuña de un caballo, una característica anatómica que define una clase de mamíferos denominados ungulados.
[2] Dos cilindros con radios iguales y ejes perpendiculares se cruzan en cuatro úngulas dobles.
[3] El bicilindro formado por la intersección había sido medido por Arquímedes en El método de los teoremas mecánicos, pero el manuscrito permaneció perdido hasta el año 1906.
Un historiador del cálculo infinitesimal describió el papel de la úngula en la integración en los términos siguientes:
Una úngula cilíndrica de radio base r y altura h tiene volumen Su superficie total es el área de la superficie de su pared lateral curvada es y el área de la superficie de su techo (techo inclinado) es Considérese un cilindro
donde k es la pendiente del techo inclinado: Cortando el volumen en rebanadas paralelas al eje y, entonces una rebanada diferencial, con forma de prisma triangular, tiene volumen donde es el área de un triángulo rectángulo cuyos vértices son,
Entonces el volumen de toda la úngula cilíndrica es que es igual a después de sustituir
Un área de superficie diferencial de la pared lateral curvada es área que pertenece a un rectángulo casi plano delimitado por los vértices
y (lo suficientemente cerca de)
, y la parte superior inclinada de dicha úngula es una media elipse con eje semi-menor de longitud r y semi-eje mayor de longitud
, de modo que su área es y sustituyendo los rendimientos
Obsérvese cómo el área de la superficie de la pared lateral está relacionada con el volumen: siendo esa área de superficie
Cuando la pendiente k es igual a 1, entonces dicha úngula es precisamente un octavo de un bicilindro, cuyo volumen es
Un octavo de este volumen es
Una úngula cónica de altura h, radio de la base r y pendiente de la superficie plana superior k (si la base semicircular está en la parte inferior, en el plano z = 0) tiene volumen donde es la altura del cono del que se ha cortado la úngula, y El área de la superficie de la pared lateral curvada es Como comprobación de la coherencia del resultado, considérese lo que sucede cuando la altura del cono llega al infinito, de modo que el cono se convierte en un cilindro en el límite: de modo que cuyos resultados concuerdan con el caso cilíndrico.
Sea un cono descrito por donde r y H son constantes y z y ρ son variables, con y Cortando el cono por un plano Sustituyendo esta z en la ecuación del cono y despejando ρ se obtiene que para un valor dado de θ es la coordenada radial del punto común al plano y al cono que está más alejado del eje del cono en un ángulo θ desde el eje x.
La coordenada de altura cilíndrica de este punto es Entonces, en la dirección del ángulo θ, una sección transversal de la úngula cónica se asemeja al triángulo Al rotar este triángulo en un ángulo
sobre el eje z, se obtiene otro triángulo con
, por lo que para efectos de considerar el volumen de la pirámide trapezoidal diferencial, pueden considerarse iguales.
La pirámide trapezoidal diferencial tiene una base trapezoidal con una longitud en la base (del cono) de
, una longitud en la parte superior de
, por lo que el trapezoide tiene un área Una altura desde la base trapezoidal hasta el punto
El volumen de la pirámide es un tercio de su área de base multiplicada por la longitud de su altura, por lo que el volumen de la úngula cónica es la integral de la expresión anterior: donde Sustituyendo el lado derecho en la integral y haciendo alguna manipulación algebraica, se obtiene la fórmula para obtener el volumen buscado.
Para la pared lateral: y la integral del lado derecho se simplifica a
∎ Como comprobación de coherencia, considérese lo que sucede cuando k llega al infinito; entonces la úngula cónica debe convertirse en un semicono.
que es la mitad del volumen de un cono.
, la "parte superior" (es decir, la cara plana que no es semicircular como la base) tiene una forma parabólica y el área de su superficie es Cuando
entonces la parte superior es una sección de una hipérbola y su superficie es donde donde el logaritmo es natural, y
