Viscoplasticidad

Teoría en mecánica continua.

Figura 1. Elementos utilizados en modelos unidimensionales de materiales viscoplásticos.

La viscoplasticidad es una teoría de la mecánica continua que describe el comportamiento inelástico de los sólidos dependiente de la velocidad. La dependencia de la velocidad en este contexto significa que la deformación del material depende de la velocidad a la que se aplican las cargas . ^[1] El comportamiento inelástico objeto de la viscoplasticidad es la deformación plástica, lo que significa que el material sufre deformaciones irrecuperables cuando se alcanza un nivel de carga. La plasticidad dependiente de la velocidad es importante para los cálculos de plasticidad transitoria. La principal diferencia entre los modelos de material plástico y viscoplástico independiente de la velocidad es que estos últimos no solo exhiben deformaciones permanentes después de la aplicación de cargas, sino que continúan experimentando un flujo de fluencia en función del tiempo bajo la influencia de la carga aplicada.

La respuesta elástica de los materiales viscoplásticos se puede representar en una dimensión mediante elementos elásticos de Hooke . La dependencia de la tasa se puede representar mediante elementos dashpot no lineales de manera similar a la viscoelasticidad . La plasticidad se puede explicar agregando elementos de fricción deslizantes como se muestra en la Figura 1. ^[2] En la figura E es el módulo de elasticidad , λ es el parámetro de viscosidad y N es un parámetro de tipo ley de potencia que representa el amortiguador no lineal [ σ(dε/dt)= σ = λ(dε/dt) ^(1/N) ]. El elemento deslizante puede tener un límite elástico (σ _y ) que depende de la velocidad de deformación , o incluso constante, como se muestra en la Figura 1c.

La viscoplasticidad suele modelarse en tres dimensiones utilizando modelos de sobretensión del tipo Perzyna o Duvaut-Lions. ^[3] En estos modelos, se permite que la tensión aumente más allá de la superficie de fluencia independiente de la velocidad al aplicar una carga y luego se le permite relajarse nuevamente hasta la superficie de fluencia con el tiempo. En tales modelos generalmente se supone que la superficie de rendimiento no depende de la tasa. Un enfoque alternativo es agregar una dependencia de la tasa de deformación al límite elástico y utilizar las técnicas de plasticidad independiente de la tasa para calcular la respuesta de un material ^[4].

Para los metales y aleaciones , la viscoplasticidad es el comportamiento macroscópico provocado por un mecanismo vinculado al movimiento de las dislocaciones en los granos , con efectos superpuestos de deslizamiento intercristalino. El mecanismo suele volverse dominante a temperaturas superiores a aproximadamente un tercio de la temperatura de fusión absoluta. Sin embargo, ciertas aleaciones exhiben viscoplasticidad a temperatura ambiente (300 K). Para polímeros , madera y betún , se requiere la teoría de la viscoplasticidad para describir el comportamiento más allá del límite de elasticidad o viscoelasticidad .

En general, las teorías de la viscoplasticidad son útiles en áreas como:

• el cálculo de deformaciones permanentes,
• la predicción del colapso plástico de estructuras,
• la investigación de la estabilidad,
• simulaciones de accidentes,
• sistemas expuestos a altas temperaturas, como turbinas en motores, por ejemplo, una central eléctrica,
• problemas dinámicos y sistemas expuestos a altas tasas de deformación.

Historia

La investigación sobre las teorías de la plasticidad se inició en 1864 con los trabajos de Henri Tresca , ^[5] Saint Venant (1870) y Levy (1871) ^[6] sobre el criterio de corte máximo . ^{[7] En 1913} , Von Mises ^[8] presentó un modelo de plasticidad mejorado que ahora se conoce como criterio de rendimiento de von Mises . En viscoplasticidad, el desarrollo de un modelo matemático se remonta a 1910 con la representación de la fluencia primaria mediante la ley de Andrade. ^[9] En 1929, Norton ^[10] desarrolló un modelo de amortiguador unidimensional que vinculaba la tasa de fluencia secundaria con la tensión. En 1934, Odqvist ^[11] generalizó la ley de Norton al caso multiaxial.

Prandtl (1924) ^[12] y Reuss (1930) introdujeron conceptos como la normalidad del flujo plástico hacia la superficie de fluencia y las reglas de flujo para la plasticidad. ^[13] En 1932, Hohenemser y Prager ^[14] propusieron el primer modelo de flujo viscoplástico lento. Este modelo proporcionó una relación entre la tensión desviatoria y la tasa de deformación para un sólido de Bingham incompresible ^[15]. Sin embargo, la aplicación de estas teorías no comenzó antes de 1950, cuando se descubrieron los teoremas de límite.

En 1960, el primer Simposio del IUTAM “Creep in Structures” organizado por Hoff ^[16] proporcionó un importante desarrollo en viscoplasticidad con los trabajos de Hoff, Rabotnov, Perzyna, Hult y Lemaitre para las leyes de endurecimiento isotrópico , y los de Kratochvil, Malinini. y Khadjinsky, Ponter y Leckie y Chaboche por las leyes de endurecimiento cinemático . Perzyna, en 1963, introdujo un coeficiente de viscosidad que depende de la temperatura y el tiempo. ^[17] Los modelos formulados se sustentaron en la termodinámica de procesos irreversibles y el punto de vista fenomenológico . Las ideas presentadas en estos trabajos han sido la base de la mayoría de las investigaciones posteriores sobre la plasticidad dependiente de la tasa.

Fenomenología

Para un análisis cualitativo, se realizan varias pruebas características para describir la fenomenología de los materiales viscoplásticos. Algunos ejemplos de estas pruebas son ^[9]

1. pruebas de endurecimiento a tensión o tasa de deformación constante,
2. pruebas de fluencia a fuerza constante, y
3. relajación de tensiones a alargamiento constante.

Prueba de endurecimiento por deformación

Figura 2. Respuesta tensión-deformación de un material viscoplástico a diferentes velocidades de deformación. Las líneas de puntos muestran la respuesta si la tasa de deformación se mantiene constante. La línea azul muestra la respuesta cuando la tasa de deformación cambia repentinamente.

Una consecuencia de la fluencia es que a medida que avanza la deformación plástica, se requiere un aumento de la tensión para producir una deformación adicional . Este fenómeno se conoce como endurecimiento por deformación/trabajo . ^[18] Para un material viscoplástico, las curvas de endurecimiento no son significativamente diferentes de las del material plástico independiente de la velocidad. Sin embargo, se pueden observar tres diferencias esenciales.

1. A la misma deformación, cuanto mayor sea la tasa de deformación, mayor será la tensión.
2. Un cambio en la tasa de deformación durante la prueba da como resultado un cambio inmediato en la curva tensión-deformación.
3. El concepto de límite elástico plástico ya no es estrictamente aplicable.

La hipótesis de dividir las deformaciones desacoplando las partes elásticas y plásticas sigue siendo aplicable cuando las deformaciones son pequeñas, ^[3] es decir,

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }+{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$

donde es la deformación elástica y es la deformación viscoplástica. Para obtener el comportamiento tensión-deformación que se muestra en azul en la figura, el material se carga inicialmente a una velocidad de deformación de 0,1/s. Luego, la velocidad de deformación se eleva instantáneamente a 100/s y se mantiene constante en ese valor durante algún tiempo. Al final de ese período de tiempo, la tasa de deformación se reduce instantáneamente a 0,1/s y el ciclo continúa para valores crecientes de deformación. Es evidente que existe un desfase entre el cambio en la tasa de deformación y la respuesta al estrés. Este retraso se modela con bastante precisión mediante modelos de sobreesfuerzo (como el modelo de Perzyna), pero no mediante modelos de plasticidad independiente de la tasa que tienen un límite elástico dependiente de la tasa. ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$

prueba de fluencia

La fluencia es la tendencia de un material sólido a moverse lentamente o deformarse permanentemente bajo tensiones constantes. Las pruebas de fluencia miden la respuesta de deformación debido a una tensión constante como se muestra en la Figura 3. La curva de fluencia clásica representa la evolución de la deformación en función del tiempo en un material sometido a tensión uniaxial a una temperatura constante. La prueba de fluencia, por ejemplo, se realiza aplicando una fuerza/tensión constante y analizando la respuesta de deformación del sistema. En general, como se muestra en la Figura 3b esta curva suele mostrar tres fases o periodos de comportamiento ^[9]

1. Una etapa de fluencia primaria , también conocida como fluencia transitoria, es la etapa inicial durante la cual el endurecimiento del material conduce a una disminución en la tasa de flujo que inicialmente es muy alta. . ${\displaystyle (0\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{1})}$
2. La etapa de fluencia secundaria , también conocida como estado estacionario, es donde la tasa de deformación es constante. . ${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{1}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{2})}$
3. Una fase de fluencia terciaria en la que hay un aumento en la tasa de deformación hasta la deformación de fractura. . ${\displaystyle ({\boldsymbol {\varepsilon }}_{2}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}\leq {\boldsymbol {\varepsilon }}_{R})}$

Prueba de relajación

Figura 4. a) Deformación aplicada en una prueba de relajación y b) tensión inducida en función del tiempo durante un período corto para un material viscoplástico.

Como se muestra en la Figura 4, la prueba de relajación ^[19] se define como la respuesta al estrés debido a una deformación constante durante un período de tiempo. En materiales viscoplásticos, las pruebas de relajación demuestran la relajación de la tensión en cargas uniaxiales a deformación constante. De hecho, estas pruebas caracterizan la viscosidad y pueden usarse para determinar la relación que existe entre la tensión y la tasa de deformación viscoplástica. La descomposición de la tasa de deformación es

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}={\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}+{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}~.}$

La parte elástica de la tasa de deformación está dada por

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }}{\mathrm {d} t}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$

Para la región plana de la curva deformación-tiempo, la tasa de deformación total es cero. Por lo tanto tenemos,

${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}{\mathrm {d} t}}=-{\mathsf {E}}^{-1}~{\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\sigma }}}{\mathrm {d} t}}}$

Por lo tanto, la curva de relajación se puede utilizar para determinar la tasa de deformación viscoplástica y, por tanto, la viscosidad del amortiguador en un modelo de material viscoplástico unidimensional. El valor residual que se alcanza cuando la tensión se ha estabilizado al final de una prueba de relajación corresponde al límite superior de elasticidad. Para algunos materiales, como la sal gema, dicho límite superior de elasticidad se produce con un valor muy pequeño de tensión y las pruebas de relajación pueden continuar durante más de un año sin que se observe ninguna meseta en la tensión.

Es importante señalar que las pruebas de relajación son extremadamente difíciles de realizar porque mantener la condición en una prueba requiere considerable delicadeza. ^[20] ${\displaystyle {\cfrac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\varepsilon }}}{\mathrm {d} t}}=0}$

Modelos reológicos de viscoplasticidad.

Los modelos constitutivos unidimensionales para la viscoplasticidad basados ​​en elementos de resorte-dashpot-deslizador incluyen ^[3] el sólido perfectamente viscoplástico, el sólido elástico perfectamente viscoplástico y el sólido endurecedor elastoviscoplástico. Los elementos pueden conectarse en serie o en paralelo . En los modelos donde los elementos están conectados en serie, la deformación es aditiva mientras que la tensión es igual en cada elemento. En conexiones paralelas, la tensión es aditiva mientras que la deformación es igual en cada elemento. Muchos de estos modelos unidimensionales pueden generalizarse a tres dimensiones para el régimen de deformaciones pequeñas. En el análisis siguiente, la tensión y el estrés de las tasas de tiempo se escriben como y , respectivamente. ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\sigma }}}}$

Sólido perfectamente viscoplástico (modelo Norton-Hoff)

Figura 5. Modelo de Norton-Hoff para un sólido perfectamente viscoplástico

En un sólido perfectamente viscoplástico, también llamado modelo de viscoplasticidad de Norton-Hoff, la tensión (como en el caso de los fluidos viscosos) es función de la tasa de deformación permanente. El efecto de la elasticidad se desprecia en el modelo, es decir, y por lo tanto no hay límite elástico inicial, es decir, . El amortiguador viscoso tiene una respuesta dada por ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{y}=0}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }\implies {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}}$

¿Dónde está la viscosidad del amortiguador? En el modelo de Norton-Hoff, la viscosidad es una función no lineal de la tensión aplicada y viene dada por ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle \eta =\lambda \left[{\cfrac {\lambda }{||{\boldsymbol {\sigma }}||}}\right]^{N-1}}$

donde es un parámetro de ajuste, λ es la viscosidad cinemática del material y . Entonces la tasa de deformación viscoplástica viene dada por la relación ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle ||{\boldsymbol {\sigma }}||={\sqrt {{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\sigma }}}}={\sqrt {\sigma _{ij}\sigma _{ij}}}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {||{\boldsymbol {\sigma }}||}{\lambda }}\right]^{N-1}}$

En forma unidimensional, el modelo de Norton-Hoff se puede expresar como

${\displaystyle \sigma =\lambda ~\left({\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }\right)^{1/N}}$

Cuando el sólido es viscoelástico . ${\displaystyle N=1.0}$

Si asumimos que el flujo plástico es isocórico (conserva el volumen), entonces la relación anterior se puede expresar en la forma más familiar ^[21]

${\displaystyle {\boldsymbol {s}}=2K~\left({\sqrt {3}}{\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }\right)^{m-1}~{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }}$

donde es el tensor de tensión desviador , es la tasa de deformación equivalente de von Mises y son los parámetros del material. La tasa de deformación equivalente se define como ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {eq} }}$ ${\displaystyle K,m}$

${\displaystyle {\dot {\bar {\epsilon }}}={\sqrt {{\frac {2}{3}}{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}:{\dot {\bar {\bar {\epsilon }}}}}}}$

Estos modelos se pueden aplicar en metales y aleaciones a temperaturas superiores a dos tercios ^[21] de su punto de fusión absoluto (en kelvins) y polímeros/asfalto a temperatura elevada. Las respuestas a las pruebas de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dicho material se muestran en la Figura 6.

Sólido elástico perfectamente viscoplástico (modelo de Bingham-Norton)

Figura 7. El material elástico perfectamente viscoplástico.

Se pueden utilizar dos tipos de enfoques elementales para construir un modo elástico-perfectamente viscoplástico. En la primera situación, el elemento de fricción deslizante y el amortiguador se disponen en paralelo y luego se conectan en serie al resorte elástico como se muestra en la Figura 7. Este modelo se llama modelo de Bingham-Maxwell (por analogía con el modelo de Maxwell y el modelo de Bingham). modelo ) o el modelo de Bingham-Norton . ^[22] En la segunda situación, los tres elementos están dispuestos en paralelo. Este modelo se denomina modelo de Bingham-Kelvin por analogía con el modelo de Kelvin .

Para materiales elásticos perfectamente viscoplásticos, la deformación elástica ya no se considera despreciable, pero la tasa de deformación plástica es sólo una función del límite elástico inicial y no hay influencia del endurecimiento. El elemento deslizante representa un límite elástico constante cuando se excede el límite elástico, independientemente de la deformación. El modelo se puede expresar como

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {E}}~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]&&\mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$

¿Dónde está la viscosidad del elemento del amortiguador? Si el elemento dashpot tiene una respuesta de la forma Norton ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\eta }}={\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}}$

obtenemos el modelo de Bingham-Norton

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+{\cfrac {\boldsymbol {\sigma }}{\lambda }}\left[{\cfrac {\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}{\lambda }}\right]^{N-1}\left[1-{\cfrac {\sigma _{y}}{\|{\boldsymbol {\sigma }}\|}}\right]\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$

También se pueden observar otras expresiones para la tasa de deformación en la literatura ^[22] con la forma general

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y})~{\boldsymbol {\sigma }}\quad \mathrm {for} ~\|{\boldsymbol {\sigma }}\|\geq \sigma _{y}}$

Las respuestas a las pruebas de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dicho material se muestran en la Figura 8.

Sólido de endurecimiento elastoviscoplástico

Un material elástico-viscoplástico con endurecimiento por deformación se describe mediante ecuaciones similares a las de un material elástico-viscoplástico con plasticidad perfecta. Sin embargo, en este caso la tensión depende tanto de la velocidad de deformación plástica como de la deformación plástica misma. Para un material elastoviscoplástico, la tensión, después de exceder el límite elástico, continúa aumentando más allá del punto de fluencia inicial. Esto implica que el límite elástico en el elemento deslizante aumenta con la deformación y el modelo puede expresarse en términos genéricos como

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {e} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\boldsymbol {\sigma }}=~{\boldsymbol {\varepsilon }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||<\sigma _{y}\\&{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}={\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {e} }+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}_{\mathrm {vp} }={\mathsf {E}}^{-1}~{\dot {\boldsymbol {\sigma }}}+f({\boldsymbol {\sigma }},\sigma _{y},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} })~{\boldsymbol {\sigma }}&&\mathrm {for} ~||{\boldsymbol {\sigma }}||\geq \sigma _{y}\end{aligned}}}$.

Este modelo se adopta cuando los metales y aleaciones se encuentran a temperaturas medias y altas y la madera bajo cargas elevadas. Las respuestas a las pruebas de endurecimiento por deformación, fluencia y relajación de dicho material se muestran en la Figura 9.

Modelos de plasticidad dependiente de la tasa de deformación.

Los modelos fenomenológicos clásicos de viscoplasticidad para cepas pequeñas suelen clasificarse en dos tipos: ^[3]

• la formulación de Perzyna
• la formulación Duvaut-Lions

Formulación de Perzyna

En la formulación de Perzyna se supone que la tasa de deformación plástica viene dada por una relación constitutiva de la forma

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\cfrac {\left\langle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})\right\rangle }{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{cases}{\cfrac {f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}{\tau }}{\cfrac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}&{\rm {if}}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0\\0&{\rm {otherwise}}\\\end{cases}}}$

donde es una función de fluencia , es la tensión de Cauchy , es un conjunto de variables internas (como la deformación plástica ), es un tiempo de relajación. La notación denota los corchetes de Macaulay . La regla de flujo utilizada en varias versiones del modelo Chaboche es un caso especial de la regla de flujo de Perzyna ^[23] y tiene la forma ${\displaystyle f(.,.)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {q}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \langle \dots \rangle }$

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }=\left\langle {\frac {f}{f_{0}}}\right\rangle ^{n}sign({\boldsymbol {\sigma }}-{\boldsymbol {\chi }})}$

donde es el valor cuasiestático de y es un contrafuerte . Varios modelos de respaldo también reciben el nombre de modelo Chaboche . ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\chi }}}$

Formulación de Duvaut-Lions

La formulación de Duvaut-Lions es equivalente a la formulación de Perzyna y puede expresarse como

${\displaystyle {\dot {\varepsilon }}_{\mathrm {vp} }={\begin{cases}{\mathsf {C}}^{-1}:{\cfrac {{\boldsymbol {\sigma }}-{\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}{\tau }}&{\rm {{if}~f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})>0}}\\0&{\rm {otherwise}}\end{cases}}}$

donde es el tensor de rigidez elástica, es la proyección puntual más cercana del estado de tensión al límite de la región que limita todos los estados de tensión elásticos posibles. La cantidad generalmente se encuentra a partir de la solución independiente de la velocidad de un problema de plasticidad. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}{\boldsymbol {\sigma }}}$

Modelos de estrés de flujo

La cantidad representa la evolución de la superficie de rendimiento . La función de fluencia a menudo se expresa como una ecuación que consta de algún invariante de tensión y un modelo para la tensión de fluencia (o tensión de flujo plástico). Un ejemplo es von Mises o la plasticidad. En esas situaciones, la tasa de deformación plástica se calcula de la misma manera que en la plasticidad independiente de la tasa. En otras situaciones, el modelo de límite elástico proporciona un medio directo para calcular la tasa de deformación plástica. ${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {q}})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle J_{2}}$

Se utilizan numerosos modelos de tensión de flujo empíricos y semiempíricos para la plasticidad computacional. Los siguientes modelos dependientes de la temperatura y la tasa de deformación proporcionan una muestra de los modelos que se utilizan actualmente:

1. el modelo Johnson-Cook
2. el modelo Steinberg-Cochran-Guinan-Lund.
3. el modelo Zerilli-Armstrong.
4. el modelo de tensión de umbral mecánico.
5. el modelo Preston-Tonks-Wallace.

El modelo de Johnson-Cook (JC) ^[24] es puramente empírico y es el más utilizado de los cinco. Sin embargo, este modelo exhibe una dependencia irrealmente pequeña de la tasa de deformación a altas temperaturas. El modelo Steinberg-Cochran-Guinan-Lund (SCGL) ^{[25] [26]} es semiempírico. El modelo es puramente empírico e independiente de la tasa de deformación a altas tasas de deformación. Se utiliza una extensión basada en dislocaciones basada en ^[27] a bajas tasas de deformación. El modelo SCGL es ampliamente utilizado por la comunidad de física de choques. El modelo Zerilli-Armstrong (ZA) ^[28] es un modelo simple de base física que se ha utilizado ampliamente. Un modelo más complejo que se basa en ideas de la dinámica de las dislocaciones es el modelo de estrés umbral mecánico (MTS). ^[29] Este modelo se ha utilizado para modelar la deformación plástica de cobre, tantalio, ^[30] aleaciones de acero, ^{[31] [32]} y aleaciones de aluminio. ^[33] Sin embargo, el modelo MTS se limita a tasas de deformación inferiores a aproximadamente 10 ⁷ /s. El modelo Preston-Tonks-Wallace (PTW) ^[34] también tiene una base física y una forma similar al modelo MTS. Sin embargo, el modelo PTW tiene componentes que pueden modelar la deformación plástica en el régimen de choque sobreimpulsado (tasas de deformación superiores a 10 ⁷ /s). Por lo tanto, este modelo es válido para el rango más amplio de tasas de deformación entre los cinco modelos de estrés de flujo.

Modelo de estrés de flujo de Johnson-Cook

El modelo de Johnson-Cook (JC) ^[24] es puramente empírico y da la siguiente relación para la tensión de flujo ( ) ${\displaystyle \sigma _{y}}$

${\displaystyle {\text{(1)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[A+B(\varepsilon _{\rm {p}})^{n}\right]\left[1+C\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*})\right]\left[1-(T^{*})^{m}\right]}$

donde es la deformación plástica equivalente , es la tasa de deformación plástica y son constantes del material. ${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$ ${\displaystyle A,B,C,n,m}$

La velocidad de deformación normalizada y la temperatura en la ecuación (1) se definen como

${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}:={\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}\qquad {\text{and}}\qquad T^{*}:={\cfrac {(T-T_{0})}{(T_{m}-T_{0})}}}$

donde es la tasa de deformación plástica efectiva de la prueba cuasiestática utilizada para determinar los parámetros de rendimiento y endurecimiento A, B y n. Esto no es, como a menudo se piensa, solo un parámetro para hacer que no sea dimensional. ^[35] es una temperatura de referencia y es una temperatura de fusión de referencia . Para condiciones donde , asumimos que . ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p0}}}}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}^{*}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle T_{m}}$ ${\displaystyle T^{*}<0}$ ${\displaystyle m=1}$

Modelo de estrés de flujo de Steinberg-Cochran-Guinan-Lund

El modelo Steinberg-Cochran-Guinan-Lund (SCGL) es un modelo semiempírico desarrollado por Steinberg et al. ^[25] para situaciones de alta tasa de deformación y extendido a bajas tasas de deformación y materiales bcc por Steinberg y Lund. ^[26] La tensión de flujo en este modelo está dada por

${\displaystyle {\text{(2)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\left[\sigma _{a}f(\varepsilon _{\rm {p}})+\sigma _{t}({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)\right]{\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}};\quad \sigma _{a}f\leq \sigma _{\text{max}}~~{\text{and}}~~\sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$

donde es el componente atérmico de la tensión de flujo, es una función que representa el endurecimiento por deformación, es el componente activado térmicamente de la tensión de flujo, es el módulo de corte dependiente de la presión y la temperatura, y es el módulo de corte a temperatura y presión estándar. El valor de saturación del estrés atérmico es . La saturación de la tensión activada térmicamente es la tensión de Peierls ( ). El módulo de corte para este modelo generalmente se calcula con el modelo de módulo de corte de Steinberg-Cochran-Guinan . ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})}$ ${\displaystyle \sigma _{t}}$ ${\displaystyle \mu (p,T)}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{max}}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$

La función de endurecimiento por deformación ( ) tiene la forma ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\varepsilon _{\rm {p}})=[1+\beta (\varepsilon _{\rm {p}}+\varepsilon _{\rm {p}}i)]^{n}}$

donde son los parámetros de endurecimiento por trabajo y es la deformación plástica equivalente inicial. ${\displaystyle \beta ,n}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\rm {p}}i}$

El componente térmico ( ) se calcula utilizando un algoritmo de bisección de la siguiente ecuación. ^{[26] [27]} ${\displaystyle \sigma _{t}}$

${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}=\left[{\frac {1}{C_{1}}}\exp \left[{\frac {2U_{k}}{k_{b}~T}}\left(1-{\frac {\sigma _{t}}{\sigma _{p}}}\right)^{2}\right]+{\frac {C_{2}}{\sigma _{t}}}\right]^{-1};\quad \sigma _{t}\leq \sigma _{p}}$

donde está la energía para formar un par de torsión en un segmento de dislocación de longitud , es la constante de Boltzmann , es la tensión de Peierls . Las constantes están dadas por las relaciones. ${\displaystyle 2U_{k}}$ ${\displaystyle L_{d}}$ ${\displaystyle k_{b}}$ ${\displaystyle \sigma _{p}}$ ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$

${\displaystyle C_{1}:={\frac {\rho _{d}L_{d}ab^{2}\nu }{2w^{2}}};\quad C_{2}:={\frac {D}{\rho _{d}b^{2}}}}$

donde es la densidad de dislocaciones , es la longitud de un segmento de dislocación, es la distancia entre los valles de Peierls, es la magnitud del vector de Burgers , es la frecuencia de Debye , es el ancho de un bucle de torsión y es el coeficiente de arrastre . ${\displaystyle \rho _{d}}$ ${\displaystyle L_{d}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle D}$

Modelo de tensión de flujo de Zerilli-Armstrong

El modelo Zerilli-Armstrong (ZA) ^{[28] [36] [37]} se basa en una mecánica de dislocación simplificada. La forma general de la ecuación para la tensión de flujo es

${\displaystyle {\text{(3)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)=\sigma _{a}+B\exp(-\beta T)+B_{0}{\sqrt {\varepsilon _{\rm {p}}}}\exp(-\alpha T)~.}$

En este modelo, la componente atérmica de la tensión de flujo está dada por ${\displaystyle \sigma _{a}}$

${\displaystyle \sigma _{a}:=\sigma _{g}+{\frac {k_{h}}{\sqrt {l}}}+K\varepsilon _{\rm {p}}^{n},}$

donde es la contribución debida a los solutos y la densidad de dislocación inicial, es la intensidad del estrés microestructural, es el diámetro promedio del grano, es cero para materiales fcc, son constantes del material. ${\displaystyle \sigma _{g}}$ ${\displaystyle k_{h}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle B,B_{0}}$

En los términos activados térmicamente, las formas funcionales de los exponentes y son ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}-\alpha _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});\quad \beta =\beta _{0}-\beta _{1}\ln({\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}});}$

donde están los parámetros del material que dependen del tipo de material (fcc, bcc, hcp, aleaciones). El modelo Zerilli-Armstrong ha sido modificado por ^[38] para obtener un mejor rendimiento a altas temperaturas. ${\displaystyle \alpha _{0},\alpha _{1},\beta _{0},\beta _{1}}$

Modelo de tensión de flujo de tensión de umbral mecánico

El modelo de tensión umbral mecánica (MTS) ^{[29] [39] [40]} tiene la forma

${\displaystyle {\text{(4)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon }},T)=\sigma _{a}+(S_{i}\sigma _{i}+S_{e}\sigma _{e}){\frac {\mu (p,T)}{\mu _{0}}}}$

donde es el componente atérmico de la tensión umbral mecánica, es el componente de la tensión de flujo debido a las barreras intrínsecas al movimiento de dislocación activado térmicamente y a las interacciones dislocación-dislocación, es el componente de la tensión de flujo debido a la evolución microestructural con una deformación creciente (endurecimiento por deformación) , ( ) son factores de escala dependientes de la temperatura y la tasa de deformación, y es el módulo de corte a 0 K y presión ambiente. ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}}$ ${\displaystyle \sigma _{e}}$ ${\displaystyle S_{i},S_{e}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

Los factores de escala toman la forma de Arrhenius.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{i}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0i}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{i}}\right]^{1/p_{i}}\\S_{e}&=\left[1-\left({\frac {k_{b}~T}{g_{0e}b^{3}\mu (p,T)}}\ln {\frac {\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}{\dot {\varepsilon }}}\right)^{1/q_{e}}\right]^{1/p_{e}}\end{aligned}}}$

donde es la constante de Boltzmann, es la magnitud del vector de Burgers, ( ) son energías de activación normalizadas, ( ) son la tasa de deformación y la tasa de deformación de referencia, y ( ) son constantes. ${\displaystyle k_{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g_{0i},g_{0e}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon }},{\dot {\varepsilon _{\rm {0}}}}}$ ${\displaystyle q_{i},p_{i},q_{e},p_{e}}$

El componente de endurecimiento por deformación de la tensión umbral mecánica ( ) viene dado por una ley empírica de Voce modificada. ${\displaystyle \sigma _{e}}$

${\displaystyle {\text{(5)}}\qquad {\frac {d\sigma _{e}}{d\varepsilon _{\rm {p}}}}=\theta (\sigma _{e})}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta (\sigma _{e})&=\theta _{0}[1-F(\sigma _{e})]+\theta _{IV}F(\sigma _{e})\\\theta _{0}&=a_{0}+a_{1}\ln {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}+a_{2}{\sqrt {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}-a_{3}T\\F(\sigma _{e})&={\cfrac {\tanh \left(\alpha {\cfrac {\sigma _{e}}{\sigma _{es}}}\right)}{\tanh(\alpha )}}\\\ln({\cfrac {\sigma _{es}}{\sigma _{0es}}})&=\left({\frac {kT}{g_{0es}b^{3}\mu (p,T)}}\right)\ln \left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\end{aligned}}}$

y es el endurecimiento debido a la acumulación de dislocaciones, es la contribución debido al endurecimiento de la etapa IV, ( ) son constantes, es la tensión a una tasa de endurecimiento por deformación cero, es la tensión umbral de saturación para la deformación a 0 K, es una constante y es la tasa de deformación máxima. Tenga en cuenta que la velocidad de deformación máxima suele limitarse a aproximadamente /s. ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{IV}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{es}}$ ${\displaystyle \sigma _{0es}}$ ${\displaystyle g_{0es}}$ ${\displaystyle {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}$ ${\displaystyle 10^{7}}$

Modelo de tensión de flujo de Preston-Tonks-Wallace

El modelo Preston-Tonks-Wallace (PTW) ^[34] intenta proporcionar un modelo para la tensión de flujo para velocidades de deformación extremas (hasta 10 ¹¹ /s) y temperaturas hasta el punto de fusión. En el modelo se utiliza una ley de endurecimiento lineal de Voce. La tensión de flujo del PTW está dada por

${\displaystyle {\text{(6)}}\qquad \sigma _{y}(\varepsilon _{\rm {p}},{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}},T)={\begin{cases}2\left[\tau _{s}+\alpha \ln \left[1-\varphi \exp \left(-\beta -{\cfrac {\theta \varepsilon _{\rm {p}}}{\alpha \varphi }}\right)\right]\right]\mu (p,T)&{\text{thermal regime}}\\2\tau _{s}\mu (p,T)&{\text{shock regime}}\end{cases}}}$

con

${\displaystyle \alpha :={\frac {s_{0}-\tau _{y}}{d}};\quad \beta :={\frac {\tau _{s}-\tau _{y}}{\alpha }};\quad \varphi :=\exp(\beta )-1}$

donde es una tensión de saturación de endurecimiento por trabajo normalizada, es el valor de a 0K, es una tensión de fluencia normalizada, es la constante de endurecimiento en la ley de endurecimiento de Voce y es un parámetro del material adimensional que modifica la ley de endurecimiento de Voce. ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d}$

El esfuerzo de saturación y el límite elástico están dados por

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{s}&=\max \left\{s_{0}-(s_{0}-s_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}}}\right\}\\\tau _{y}&=\max \left\{y_{0}-(y_{0}-y_{\infty }){\rm {{erf}\left[\kappa {\hat {T}}\ln \left({\cfrac {\gamma {\dot {\xi }}}{\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}}\right)\right],\min \left\{y_{1}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{y_{2}},s_{0}\left({\cfrac {\dot {\varepsilon _{\rm {p}}}}{\gamma {\dot {\xi }}}}\right)^{s_{1}}\right\}}}\right\}\end{aligned}}}$

donde es el valor de cerca de la temperatura de fusión, ( ) son los valores de a 0 K y cerca de la fusión, respectivamente, son constantes del material , ( ) son parámetros del material para el régimen de alta tasa de deformación, y ${\displaystyle s_{\infty }}$ ${\displaystyle \tau _{s}}$ ${\displaystyle y_{0},y_{\infty }}$ ${\displaystyle \tau _{y}}$ ${\displaystyle (\kappa ,\gamma )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}=T/T_{m}}$ ${\displaystyle s_{1},y_{1},y_{2}}$

${\displaystyle {\dot {\xi }}={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {4\pi \rho }{3M}}\right)^{1/3}\left({\cfrac {\mu (p,T)}{\rho }}\right)^{1/2}}$

donde es la densidad y es la masa atómica. ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$

Ver también

• Viscoelasticidad
• plástico bingham
• Dashpot
• Arrastre (deformación)
• Plasticidad (física)
• Mecánica de Medios Continuos
• Casi sólido

Referencias

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