Desplazamiento virtual

Fuerza de restricción C y desplazamiento virtual δ r para una partícula de masa m confinada en una curva. La fuerza resultante sin restricción es N . Los componentes del desplazamiento virtual están relacionados por una ecuación de restricción.

En mecánica analítica , una rama de las matemáticas y la física aplicadas , un desplazamiento virtual (o variación infinitesimal ) muestra cómo la trayectoria del sistema mecánico puede hipotéticamente (de ahí el término virtual ) desviarse muy ligeramente de la trayectoria real del sistema sin violar las restricciones del sistema. ^{[1] [2] [3] : 263} Para cada instante de tiempo es un vector tangencial al espacio de configuración en el punto Los vectores muestran las direcciones en las que puede "ir" sin romper las restricciones. ${\displaystyle \delta \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \delta \gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma (t).}$ ${\displaystyle \delta \gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

Por ejemplo, los desplazamientos virtuales del sistema que consiste en una sola partícula sobre una superficie bidimensional llenan todo el plano tangente, asumiendo que no hay restricciones adicionales.

Sin embargo, si las restricciones requieren que todas las trayectorias pasen por el punto dado en el momento dado, es decir, entonces ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle \gamma (\tau )=\mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}$

Notaciones

Sea el espacio de configuración del sistema mecánico, sea instantes de tiempo, consta de funciones suaves en , y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t_{0},t_{1}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q_{0},q_{1}\in M,}$ ${\displaystyle C^{\infty }[t_{0},t_{1}]}$ ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$

$${\displaystyle P(M)=\{\gamma \in C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M)\mid \gamma (t_{0})=q_{0},\ \gamma (t_{1})=q_{1}\}.}$$

Las restricciones se incluyen aquí sólo a modo de ejemplo. En la práctica, para cada sistema individual se requiere un conjunto individual de restricciones. ${\displaystyle \gamma (t_{0})=q_{0},}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})=q_{1}}$

Definición

Para cada trayectoria y una variación de es una función tal que, para cada y El desplazamiento virtual es el fibrado tangente de correspondiente a la variación asigna ^[1] a cada el vector tangente ${\displaystyle \gamma \in P(M)}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}>0,}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma :[t_{0},t_{1}]\times [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}]\to M}$ ${\displaystyle \epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],}$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\epsilon )\in P(M)}$ ${\displaystyle \Gamma (t,0)=\gamma (t).}$ ${\displaystyle \delta \gamma :[t_{0},t_{1}]\to TM}$ ${\displaystyle (TM}$ ${\displaystyle M)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.{\frac {d\Gamma (t,\epsilon )}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\in T_{\gamma (t)}M.}$$

En términos del mapa tangente ,

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\Gamma _{*}^{t}\left(\left.{\frac {d}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}\right).}$$

Aquí está el mapa tangente de dónde y ${\displaystyle \Gamma _{*}^{t}:T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ]\to T_{\Gamma (t,0)}M=T_{\gamma (t)}M}$ ${\displaystyle \Gamma ^{t}:[-\epsilon ,\epsilon ]\to M,}$ ${\displaystyle \Gamma ^{t}(\epsilon )=\Gamma (t,\epsilon ),}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl |}_{\epsilon =0}\in T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ].}$

Propiedades

• Representación de coordenadas. Si las coordenadas en un gráfico arbitrario son y entonces ${\displaystyle \{q_{i}\}_{i=1}^{n}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=\dim M,}$ $${\displaystyle \delta \gamma (t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d[q_{i}(\Gamma (t,\epsilon ))]}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {d}{dq_{i}}}{\Biggl |}_{\gamma (t)}.}$$
• Si, por algún instante de tiempo y cada entonces, por cada ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \gamma (\tau )={\text{const}},}$ ${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}$
• Si entonces ${\displaystyle \textstyle \gamma ,{\frac {d\gamma }{dt}}\in P(M),}$ ${\displaystyle \delta {\frac {d\gamma }{dt}}={\frac {d}{dt}}\delta \gamma .}$

Ejemplos

Partícula libre enR3

Una partícula que se mueve libremente tiene 3 grados de libertad. El espacio de configuración es y Para cada trayectoria y una variación de existe una única tal que como Por definición, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3},}$ ${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).}$ ${\displaystyle \gamma \in P(M)}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \sigma \in T_{0}\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ),}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0.}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ){\Bigr )}\right)\right|_{\epsilon =0}}$$

Lo que conduce a

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathbb {R} ^{3}.}$$

Partículas libres sobre una superficie

${\displaystyle N}$Las partículas que se mueven libremente sobre una superficie bidimensional tienen grados de libertad. El espacio de configuración aquí es ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle 2N}$

$${\displaystyle M=\{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\in \mathbb {R} ^{3\,N}\mid \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3};\ \mathbf {r} _{i}\neq \mathbf {r} _{j}\ {\text{if}}\ i\neq j\},}$$

donde es el radio vector de la partícula. De ello se deduce que ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle i^{\text{th}}}$

$${\displaystyle T_{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}M=T_{\mathbf {r} _{1}}S\oplus \ldots \oplus T_{\mathbf {r} _{N}}S,}$$

y cada camino puede describirse utilizando los vectores de radio de cada partícula individual, es decir ${\displaystyle \gamma \in P(M)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

$${\displaystyle \gamma (t)=(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t)).}$$

Esto implica que, para cada ${\displaystyle \delta \gamma (t)\in T_{(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t))}M,}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\delta \mathbf {r} _{1}(t)\oplus \ldots \oplus \delta \mathbf {r} _{N}(t),}$$

donde algunos autores expresan esto como ${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(t)\in T_{\mathbf {r} _{i}(t)}S.}$

$${\displaystyle \delta \gamma =(\delta \mathbf {r} _{1},\ldots ,\delta \mathbf {r} _{N}).}$$

Cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo

Un cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo sin restricciones adicionales tiene 3 grados de libertad. El espacio de configuración aquí es el grupo ortogonal especial de dimensión 3 (también conocido como grupo de rotación 3D ), y Usamos la notación estándar para referirnos al espacio lineal tridimensional de todas las matrices tridimensionales antisimétricas . La función exponencial garantiza la existencia de tal que, para cada trayectoria su variación y hay una trayectoria única tal que y, para cada Por definición, ${\displaystyle M=SO(3),}$ ${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3)\to SO(3)}$ ${\displaystyle \epsilon _{0}>0}$ ${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon ),}$ ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}],}$ ${\displaystyle \Theta ^{t}\in C^{\infty }([-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],{\mathfrak {so}}(3))}$ ${\displaystyle \Theta ^{t}(0)=0}$ ${\displaystyle \epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )).}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left.\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )){\Bigr )}\right)\right|_{\epsilon =0}=\gamma (t)\left.{\frac {d\Theta ^{t}(\epsilon )}{d\epsilon }}\right|_{\epsilon =0}.}$$

Puesto que, para alguna función , como , ${\displaystyle \sigma :[t_{0},t_{1}]\to {\mathfrak {so}}(3),}$ ${\displaystyle \Theta ^{t}(\epsilon )=\epsilon \sigma (t)+o(\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$

$${\displaystyle \delta \gamma (t)=\gamma (t)\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathrm {SO} (3).}$$

Véase también

• Principio de D'Alembert
• Trabajo virtual

Referencias

1. Takhtajan, Leon A. (2017). "Parte 1. Mecánica clásica". Teoría clásica de campos (PDF) . Departamento de Matemáticas, Universidad de Stony Brook, Stony Brook, NY.
2. Goldstein, H .; Poole, CP; Safko, JL (2001). Mecánica clásica (3.ª ed.). Addison-Wesley. pág. 16. ISBN 978-0-201-65702-9.
3. Torby, Bruce (1984). "Métodos de energía". Dinámica avanzada para ingenieros . Serie HRW en ingeniería mecánica. Estados Unidos de América: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.