Vida promedio ponderada

En finanzas , la vida promedio ponderada (WAL) de un préstamo amortizable o de un bono amortizable, también llamada vida promedio , ^{[1] [2] [3]} es el promedio ponderado de los tiempos de los pagos del principal : es el tiempo promedio hasta se reembolsa un dólar de capital.

En una fórmula, ^[4]

${\displaystyle {\text{WAL}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i},}$

dónde:

• ${\displaystyle P}$es el principal (total),
• ${\displaystyle P_{i}}$es el reembolso del principal que se incluye en el pago , por lo tanto ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle {\frac {P_{i}}{P}}}$es la fracción del capital total que se incluye en el pago , y ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle t_{i}}$es el tiempo (en años) desde la fecha de cálculo hasta el pago . ${\displaystyle i}$

Si se desea, se puede ampliar como para un bono mensual, donde es la fracción de mes entre la fecha de liquidación y la fecha del primer flujo de caja. ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{12}}(i+\alpha -1)}$ ${\displaystyle \alpha }$

WAL de clases de préstamos

En los préstamos que permiten el pago anticipado , el WAL no se puede calcular únicamente a partir del calendario de amortización; También se deben hacer suposiciones sobre el comportamiento de pago anticipado y de incumplimiento, y el WAL cotizado será una estimación. El WAL generalmente se calcula a partir de una única secuencia de flujo de efectivo. Ocasionalmente, se puede calcular una vida promedio simulada a partir de múltiples escenarios de flujo de efectivo, como los de un modelo de diferencial ajustado por opciones . ^[5]

Conceptos relacionados

WAL no debe confundirse con los siguientes conceptos distintos:

Duración del bono

La duración del bono es el tiempo promedio ponderado para recibir los valores presentes descontados de todos los flujos de efectivo (incluidos el principal y los intereses), mientras que WAL es el tiempo promedio ponderado para recibir simplemente los pagos del principal (sin incluir intereses ni descuentos). . Para un préstamo amortizable con pagos iguales, el WAL será mayor que la duración, ya que los pagos anticipados se ponderan en función de los intereses, mientras que los pagos posteriores se ponderan en función del principal y, además, al tomar el valor presente (en duración) se descuentan los pagos posteriores.

Tiempo hasta que se haya amortizado el 50% del capital

WAL es una media , mientras que "50% del capital reembolsado" es una mediana ; Ver diferencia entre media y mediana . Dado que el principal pendiente es una función cóncava (del tiempo) para un préstamo de amortización de pago fijo, menos de la mitad del principal se habrá pagado en el WAL. Intuitivamente, esto se debe a que la mayor parte del reembolso del principal se produce al final. Formalmente, la distribución de los pagos tiene un sesgo negativo : los pequeños pagos del principal al principio reducen el WAL (media) más de lo que reducen la mediana.

Vencimiento promedio ponderado (WAM)

WAM es un promedio de las fechas de vencimiento de múltiples préstamos, no un promedio de reembolsos de principal.

Aplicaciones

WAL es una medida que puede resultar útil en el análisis del riesgo crediticio de valores de renta fija, teniendo en cuenta que el principal riesgo crediticio de un préstamo es el riesgo de pérdida de principal. En igualdad de condiciones, un bono con principal pendiente de pago durante más tiempo (es decir, un WAL más largo) tiene mayor riesgo crediticio que un bono con un WAL más corto. En particular, WAL se utiliza a menudo como base para comparar rendimientos en los cálculos del diferencial I.

WAL no debe utilizarse para estimar la sensibilidad del precio de un bono a las fluctuaciones de las tasas de interés, ya que WAL incluye solo los flujos de efectivo principales, omitiendo los pagos de intereses. En su lugar, se debería utilizar la duración del bono , que incorpora todos los flujos de efectivo.

Ejemplos

El WAL de un préstamo bala (no amortizable) es exactamente el plazo, ya que el principal se reembolsa precisamente al vencimiento.

En un préstamo amortizable a 30 años, que paga cantidades iguales mensualmente, se tienen los siguientes WAL, para las tasas de interés anuales dadas (y los pagos mensuales correspondientes por cada $100,000 de saldo de capital, calculados mediante una calculadora de amortización y las fórmulas siguientes que relacionan los pagos amortizados, el interés total). y WAL):

Tenga en cuenta que a medida que aumenta la tasa de interés, el WAL aumenta, ya que los pagos de principal se vuelven cada vez más retrasados. WAL es independiente del saldo de capital, aunque los pagos y el interés total son proporcionales al capital.

Para un cupón del 0%, donde el principal se amortiza linealmente, el WAL es exactamente la mitad del plazo más la mitad de un período de pago, porque el principal se reembolsa atrasado (al final del período). Entonces, para un préstamo al 0% a 30 años, con pago mensual, el WAL es de años. ${\displaystyle 15+1/24\approx 15.04}$

Interés total

WAL permite calcular fácilmente los pagos totales de intereses, dados por:

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r\times P,}$

donde r es la tasa de interés anual y P es el principal inicial.

Esto puede entenderse intuitivamente como: "El dólar promedio de capital está pendiente para el WAL, por lo tanto, el interés sobre el dólar promedio es , y ahora se multiplica por el capital para obtener los pagos totales de intereses". ${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

Prueba

De manera más rigurosa, se puede derivar el resultado de la siguiente manera. Para facilitar la exposición, supongamos que los pagos son mensuales, por lo que la tasa de interés periódica es la tasa de interés anual dividida por 12 y el tiempo (el tiempo en años es el número del período en meses, mayor a 12). ${\displaystyle t_{i}=i/12}$

Entonces:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{WAL}}&=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{P}}t_{i}\\{\text{WAL}}\times P&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}t_{i}&&=\sum _{i=1}^{n}P_{i}{\frac {i}{12}}\\{\text{WAL}}\times P\times r&=\sum _{i=1}^{n}iP_{i}{\frac {r}{12}}&&={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}iP_{i}\end{aligned}}}$

El interés total es

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}Q_{i}{\frac {r}{12}}={\frac {r}{12}}\sum _{i=1}^{n}Q_{i},}$

¿Dónde está el principal pendiente al comienzo del período i (es el principal en el que se basa el i pago de intereses)? La afirmación se reduce a demostrar que . Ambas cantidades son el principal total ponderado en el tiempo del bono (en períodos), y son simplemente formas diferentes de dividirlo: la suma cuenta cuánto tiempo está pendiente cada dólar de principal (se divide horizontalmente), mientras que la suma cuenta cuánto tiempo está pendiente cada dólar de principal (se divide horizontalmente ). Hay mucho capital pendiente en cada momento (se corta verticalmente ). ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}iP_{i}=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}}$ ${\displaystyle iP_{i}}$ ${\displaystyle Q_{i}}$

Trabajando hacia atrás, etc.: el principal pendiente cuando quedan k períodos es exactamente la suma de los siguientes k pagos de principal. El principal pagado por el último ( n º) pago de principal está pendiente para los n períodos, mientras que el principal pagado por el penúltimo (( n  − 1) ésimo) pago de principal está pendiente para n  − 1 períodos, y así adelante. Usando esto, las sumas se pueden reorganizar para que sean iguales. ${\displaystyle Q_{n}=P_{n},Q_{n-1}=P_{n}+P_{n-1}}$

Por ejemplo, si el capital se amortizara en $100, $80, $50 (con pagos de $20, $30, $50), entonces la suma sería, por un lado , y, por el otro, sería . Esto se demuestra en la siguiente tabla, que muestra el cronograma de amortización, desglosado en pagos de principal, donde cada columna es un y cada fila es : ${\displaystyle 20+2\cdot 30+3\cdot 50=230}$ ${\displaystyle 100+80+50=230}$ ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle iP_{i}}$

Calcular WAL a partir del pago amortizado

Lo anterior se puede revertir: dados los términos (principal, plazo, tasa) y el pago amortizado A , se puede calcular el WAL sin conocer el cronograma de amortización. Los pagos totales son y los pagos totales de intereses son , por lo que el WAL es: ${\displaystyle An}$ ${\displaystyle An-P}$

${\displaystyle {\text{WAL}}={\frac {An-P}{Pr}}}$

De manera similar, el interés total como porcentaje del capital viene dado por : ${\displaystyle {\text{WAL}}\times r}$

${\displaystyle {\text{WAL}}\times r={\frac {An-P}{P}}}$

notas y referencias

1. Glosario de PIMCO
2. Glosario de Bloomberg
3. (Fabozzi 2000, págs. 588–589)
4. (Fabozzi 2000, págs. 616–617)
5. (Fabozzi 2000, pag.805)

• Fabozzi, Frank J. (2000), El manual de valores de renta fija , ISBN 0-87094-985-3

Ver también

• Calculadora de amortización
• Plan de amortización
• Préstamo amortizante