Vibración

Oscilaciones mecánicas alrededor de un punto de equilibrio

Uno de los posibles modos de vibración de un tambor circular (ver otros modos).

Suspensión de automóviles: El diseño del control de vibraciones se lleva a cabo como parte de la ingeniería acústica , automotriz o mecánica .

La vibración (del latín vibrāre,  «sacudir») es un fenómeno mecánico en el que se producen oscilaciones en torno a un punto de equilibrio . La vibración puede ser determinista si las oscilaciones se pueden caracterizar con precisión (por ejemplo, el movimiento periódico de un péndulo ) o aleatoria si las oscilaciones solo se pueden analizar estadísticamente (por ejemplo, el movimiento de un neumático en un camino de grava).

La vibración puede ser deseable: por ejemplo, el movimiento de un diapasón , la lengüeta de un instrumento de viento o una armónica , un teléfono móvil o el cono de un altavoz .

Sin embargo, en muchos casos, la vibración es indeseable, ya que desperdicia energía y crea ruidos no deseados . Por ejemplo, los movimientos vibratorios de los motores , motores eléctricos o cualquier dispositivo mecánico en funcionamiento suelen ser indeseados. Dichas vibraciones pueden deberse a desequilibrios en las piezas giratorias, fricción desigual o engrane de los dientes de los engranajes . Los diseños cuidadosos suelen minimizar las vibraciones no deseadas.

Los estudios del sonido y la vibración están estrechamente relacionados (ambos caen dentro de la acústica ). El sonido, o las ondas de presión , son generadas por estructuras vibrantes (por ejemplo, las cuerdas vocales ); estas ondas de presión también pueden inducir la vibración de estructuras (por ejemplo, el tímpano ). Por lo tanto, los intentos de reducir el ruido a menudo están relacionados con problemas de vibración. ^[1]

Las vibraciones de mecanizado son comunes en el proceso de fabricación sustractiva .

Tipos

La vibración libre o vibración natural se produce cuando un sistema mecánico se pone en movimiento con una entrada inicial y se le permite vibrar libremente. Ejemplos de este tipo de vibración son tirar de un niño hacia atrás en un columpio y soltarlo, o golpear un diapasón y dejarlo sonar. El sistema mecánico vibra a una o más de sus frecuencias naturales y se amortigua hasta quedar inmóvil.

La vibración forzada se produce cuando se aplica una perturbación que varía con el tiempo (carga, desplazamiento, velocidad o aceleración) a un sistema mecánico. La perturbación puede ser una entrada periódica y de estado estable, una entrada transitoria o una entrada aleatoria. La entrada periódica puede ser una perturbación armónica o no armónica. Algunos ejemplos de estos tipos de vibración incluyen una lavadora que se sacude debido a un desequilibrio, la vibración del transporte causada por un motor o una carretera irregular, o la vibración de un edificio durante un terremoto. En el caso de los sistemas lineales, la frecuencia de la respuesta de vibración de estado estable resultante de la aplicación de una entrada periódica y armónica es igual a la frecuencia de la fuerza o el movimiento aplicados, y la magnitud de la respuesta depende del sistema mecánico real.

Vibración amortiguada: Cuando la energía de un sistema vibratorio se disipa gradualmente por la fricción y otras resistencias, se dice que las vibraciones están amortiguadas. Las vibraciones se reducen gradualmente o cambian de frecuencia o intensidad o cesan y el sistema permanece en su posición de equilibrio. Un ejemplo de este tipo de vibración es la suspensión vehicular amortiguada por el amortiguador .

Aislamiento

El aislamiento de vibraciones es la prevención de la transmisión de vibraciones de un componente de un sistema a otras partes del mismo sistema, como en edificios o sistemas mecánicos . ^[2] La vibración es indeseable en muchos dominios, principalmente sistemas de ingeniería y espacios habitables, y se han desarrollado métodos para prevenir la transferencia de vibraciones a dichos sistemas. Las vibraciones se propagan a través de ondas mecánicas y ciertos vínculos mecánicos conducen vibraciones de manera más eficiente que otros. El aislamiento pasivo de vibraciones hace uso de materiales y vínculos mecánicos que absorben y amortiguan estas ondas mecánicas. El aislamiento activo de vibraciones implica sensores y actuadores que producen interferencia disruptiva que cancela la vibración entrante.

Pruebas

La prueba de vibración se lleva a cabo introduciendo una función de fuerza en una estructura, generalmente con algún tipo de vibrador. Alternativamente, se conecta un DUT (dispositivo bajo prueba) a la "mesa" de un vibrador. La prueba de vibración se realiza para examinar la respuesta de un dispositivo bajo prueba (DUT) a un entorno de vibración definido. La respuesta medida puede ser la capacidad de funcionar en el entorno de vibración, la vida útil por fatiga, las frecuencias de resonancia o la salida de sonido chirriante y traqueteante ( NVH ). La prueba de sonido chirriante y traqueteante se realiza con un tipo especial de vibrador silencioso que produce niveles de sonido muy bajos mientras está en funcionamiento.

Para el forzamiento a frecuencias relativamente bajas (normalmente menos de 100 Hz), se utilizan vibradores servohidráulicos (electrohidráulicos). Para frecuencias más altas (normalmente de 5 Hz a 2000 Hz), se utilizan vibradores electrodinámicos. Generalmente, uno o más puntos de "entrada" o "control" ubicados en el lado del dispositivo bajo prueba de un dispositivo de vibración se mantienen a una aceleración específica. ^[1] Otros puntos de "respuesta" pueden experimentar niveles de vibración más altos (resonancia) o niveles de vibración más bajos (antirresonancia o amortiguación) que el o los puntos de control. A menudo es deseable lograr antirresonancia para evitar que un sistema se vuelva demasiado ruidoso o para reducir la tensión en ciertas partes debido a los modos de vibración causados ​​por frecuencias de vibración específicas. ^[3]

Los tipos más comunes de servicios de pruebas de vibración que realizan los laboratorios de pruebas de vibración son sinusoidales y aleatorios. Las pruebas sinusoidales (una frecuencia a la vez) se realizan para evaluar la respuesta estructural del dispositivo bajo prueba (DUT). Durante la historia temprana de las pruebas de vibración, los controladores de las máquinas de vibración se limitaban solo a controlar el movimiento sinusoidal, por lo que solo se realizaban pruebas sinusoidales. Más tarde, los controladores analógicos y luego digitales más sofisticados pudieron proporcionar un control aleatorio (todas las frecuencias a la vez). Por lo general, se considera que una prueba aleatoria (todas las frecuencias a la vez) replica con mayor precisión un entorno del mundo real, como las entradas de la carretera a un automóvil en movimiento.

La mayoría de las pruebas de vibración se realizan en un "eje único del DUT" a la vez, aunque la mayoría de las vibraciones del mundo real se producen en varios ejes simultáneamente. La norma MIL-STD-810G, publicada a finales de 2008, método de prueba 527, exige pruebas con múltiples excitadores. El dispositivo de prueba de vibración ^[4] utilizado para fijar el DUT a la mesa vibratoria debe estar diseñado para el rango de frecuencia del espectro de prueba de vibración. Es difícil diseñar un dispositivo de prueba de vibración que duplique la respuesta dinámica (impedancia mecánica) ^[5] del montaje real en uso. Por este motivo, para garantizar la repetibilidad entre pruebas de vibración, los dispositivos de prueba de vibración están diseñados para que no presenten resonancia ^[5] dentro del rango de frecuencia de prueba. En general, para dispositivos de prueba más pequeños y rangos de frecuencia más bajos, el diseñador puede apuntar a un diseño de dispositivo de prueba que no presente resonancias en el rango de frecuencia de prueba. Esto se vuelve más difícil a medida que el DUT se hace más grande y aumenta la frecuencia de prueba. En estos casos, las estrategias de control de múltiples puntos ^[6] pueden mitigar algunas de las resonancias que puedan estar presentes en el futuro.

Algunos métodos de prueba de vibración limitan la cantidad de interferencias (movimiento de un punto de respuesta en una dirección perpendicular al eje bajo prueba) que se permite que presente el dispositivo de prueba de vibración. Los dispositivos diseñados específicamente para rastrear o registrar vibraciones se denominan vibroscopios .

Análisis

El análisis de vibraciones (VA), aplicado en un entorno industrial o de mantenimiento, tiene como objetivo reducir los costos de mantenimiento y el tiempo de inactividad del equipo mediante la detección de fallas en el equipo. ^{[7] [8]} El VA es un componente clave de un programa de monitoreo de condición (CM), y a menudo se lo conoce como mantenimiento predictivo (PdM). ^[9] El VA se utiliza más comúnmente para detectar fallas en equipos rotativos (ventiladores, motores, bombas y cajas de engranajes, etc.) como desequilibrio, desalineación, fallas en los cojinetes de elementos rodantes y condiciones de resonancia. ^[10]

El VA puede utilizar las unidades de desplazamiento, velocidad y aceleración que se muestran como una forma de onda de tiempo (TWF), pero lo más común es utilizar el espectro, derivado de una transformada rápida de Fourier de la TWF. El espectro de vibración proporciona información de frecuencia importante que puede identificar el componente defectuoso.

Los fundamentos del análisis de vibraciones se pueden entender estudiando el modelo simple de masa-resorte-amortiguador . De hecho, incluso una estructura compleja como la carrocería de un automóvil se puede modelar como una "suma" de modelos simples de masa-resorte-amortiguador. El modelo de masa-resorte-amortiguador es un ejemplo de un oscilador armónico simple . Las matemáticas utilizadas para describir su comportamiento son idénticas a las de otros osciladores armónicos simples como el circuito RLC .

Nota: Este artículo no incluye las derivaciones matemáticas paso a paso, sino que se centra en las ecuaciones y los conceptos principales del análisis de vibraciones. Consulte las referencias al final del artículo para obtener derivaciones detalladas.

Vibración libre sin amortiguación

Modelo de resorte de masa simple

Para comenzar la investigación del sistema de masa-resorte-amortiguador, supongamos que la amortiguación es despreciable y que no se aplica ninguna fuerza externa a la masa (es decir, vibración libre). La fuerza aplicada a la masa por el resorte es proporcional a la cantidad de estiramiento del resorte "x" (suponiendo que el resorte ya está comprimido debido al peso de la masa). La constante de proporcionalidad, k, es la rigidez del resorte y tiene unidades de fuerza/distancia (por ejemplo, lbf/in o N/m). El signo negativo indica que la fuerza siempre se opone al movimiento de la masa unida a él:

${\displaystyle F_{s}=-kx.\!}$

La fuerza generada por la masa es proporcional a la aceleración de la masa según la segunda ley del movimiento de Newton :

${\displaystyle \Sigma \ F=ma=m{\ddot {x}}=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.}$

La suma de las fuerzas sobre la masa genera entonces esta ecuación diferencial ordinaria : ${\displaystyle \ m{\ddot {x}}+kx=0.}$

Movimiento armónico simple del sistema masa-resorte

Suponiendo que el inicio de la vibración comienza estirando el resorte la distancia A y soltándolo, la solución de la ecuación anterior que describe el movimiento de la masa es:

${\displaystyle x(t)=A\cos(2\pi f_{n}t).\!}$

Esta solución dice que oscilará con un movimiento armónico simple que tiene una amplitud de A y una frecuencia de f _n . El número f _n se denomina frecuencia natural no amortiguada . Para el sistema simple de masa-resorte, f _n se define como:

${\displaystyle f_{n}={1 \over {2\pi }}{\sqrt {k \over m}}.\!}$

Nota: la frecuencia angular ω (ω=2 π f ) con unidades de radianes por segundo se utiliza a menudo en ecuaciones porque simplifica las ecuaciones, pero normalmente se convierte a frecuencia ordinaria (unidades de Hz o, equivalentemente, ciclos por segundo) cuando se indica la frecuencia de un sistema. Si se conoce la masa y la rigidez del sistema, la fórmula anterior puede determinar la frecuencia a la que vibra el sistema una vez que se pone en movimiento por una perturbación inicial. Todo sistema vibratorio tiene una o más frecuencias naturales a las que vibra inmediatamente después de ser perturbado. Esta sencilla relación se puede utilizar para comprender en general lo que le sucede a un sistema más complejo una vez que añadimos masa o rigidez. Por ejemplo, la fórmula anterior explica por qué, cuando un coche o un camión está completamente cargado, la suspensión se siente "más blanda" que sin carga: la masa ha aumentado, lo que reduce la frecuencia natural del sistema.

¿Qué hace que el sistema vibre? Desde el punto de vista de la conservación de la energía

El movimiento vibratorio se puede entender en términos de conservación de la energía . En el ejemplo anterior, el resorte se ha extendido por un valor de x y, por lo tanto, cierta energía potencial ( ) se almacena en el resorte. Una vez liberado, el resorte tiende a regresar a su estado no estirado (que es el estado de energía potencial mínima) y en el proceso acelera la masa. En el punto en que el resorte ha alcanzado su estado no estirado, toda la energía potencial que suministramos al estirarlo se ha transformado en energía cinética ( ). La masa entonces comienza a desacelerar porque ahora está comprimiendo el resorte y en el proceso transfiriendo la energía cinética de nuevo a su potencial. Por lo tanto, la oscilación del resorte equivale a la transferencia de ida y vuelta de la energía cinética a energía potencial. En este modelo simple, la masa continúa oscilando para siempre en la misma magnitud, pero en un sistema real, la amortiguación siempre disipa la energía, lo que finalmente lleva al resorte al reposo. ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}kx^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$

Vibración libre con amortiguación

Modelo masa-resorte-amortiguador

Cuando se añade un amortiguador "viscoso" al modelo, se genera una fuerza proporcional a la velocidad de la masa. La amortiguación se denomina viscosa porque modela los efectos de un fluido dentro de un objeto. La constante de proporcionalidad c se denomina coeficiente de amortiguación y tiene unidades de fuerza sobre velocidad (lbf⋅s/in o N⋅s/m).

${\displaystyle F_{\text{d}}=-cv=-c{\dot {x}}=-c{\frac {dx}{dt}}.}$

Sumando las fuerzas sobre la masa se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=0.}$

La solución de esta ecuación depende de la cantidad de amortiguamiento. Si el amortiguamiento es lo suficientemente pequeño, el sistema sigue vibrando, pero finalmente, con el tiempo, deja de vibrar. Este caso se denomina subamortiguamiento, que es importante en el análisis de vibraciones. Si el amortiguamiento se incrementa justo hasta el punto en que el sistema ya no oscila, el sistema ha alcanzado el punto de amortiguamiento crítico . Si el amortiguamiento se incrementa más allá del amortiguamiento crítico, el sistema está sobreamortiguado . El valor que debe alcanzar el coeficiente de amortiguamiento para el amortiguamiento crítico en el modelo de masa-resorte-amortiguador es:

${\displaystyle c_{\text{c}}=2{\sqrt {\text{km}}}.}$

Para caracterizar la cantidad de amortiguamiento en un sistema se utiliza una relación denominada coeficiente de amortiguamiento (también conocido como factor de amortiguamiento y porcentaje de amortiguamiento crítico). Esta relación de amortiguamiento es simplemente una relación entre el amortiguamiento real y la cantidad de amortiguamiento necesaria para alcanzar el amortiguamiento crítico. La fórmula para el coeficiente de amortiguamiento ( ) del modelo de masa-resorte-amortiguador es: ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \zeta ={c \over 2{\sqrt {\text{km}}}}.}$

Por ejemplo, las estructuras metálicas (por ejemplo, fuselajes de aviones, cigüeñales de motores) tienen factores de amortiguamiento inferiores a 0,05, mientras que las suspensiones de automóviles están en el rango de 0,2 a 0,3. La solución del sistema subamortiguado para el modelo masa-resorte-amortiguador es la siguiente:

${\displaystyle x(t)=Xe^{-\zeta \omega _{n}t}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t-\phi \right),\qquad \omega _{n}=2\pi f_{n}.}$

Vibración libre con relación de amortiguación de 0,1 y 0,3

El valor de X , la magnitud inicial y el desfase se determinan en función de la cantidad de estiramiento del resorte. Las fórmulas para estos valores se pueden encontrar en las referencias. ${\displaystyle \phi ,}$

Frecuencias naturales amortiguadas y no amortiguadas

Los puntos principales que hay que tener en cuenta de la solución son el término exponencial y la función coseno. El término exponencial define la rapidez con la que el sistema se “amortigua”: cuanto mayor sea el coeficiente de amortiguamiento, más rápido se amortiguará hasta llegar a cero. La función coseno es la parte oscilante de la solución, pero la frecuencia de las oscilaciones es diferente a la del caso no amortiguado.

La frecuencia en este caso se denomina "frecuencia natural amortiguada" y está relacionada con la frecuencia natural no amortiguada mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle f_{\text{d}},}$

${\displaystyle f_{\text{d}}=f_{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}.}$

La frecuencia natural amortiguada es menor que la frecuencia natural no amortiguada, pero en muchos casos prácticos el coeficiente de amortiguamiento es relativamente pequeño y, por lo tanto, la diferencia es insignificante. Por lo tanto, la descripción de amortiguada y no amortiguada a menudo se omite cuando se indica la frecuencia natural (por ejemplo, con un coeficiente de amortiguamiento de 0,1, la frecuencia natural amortiguada es solo un 1 % menor que la no amortiguada).

Los gráficos que se muestran al lado muestran cómo los coeficientes de amortiguamiento de 0,1 y 0,3 afectan la forma en que el sistema “resuena” con el tiempo. Lo que se suele hacer en la práctica es medir experimentalmente la vibración libre después de un impacto (por ejemplo, con un martillo) y luego determinar la frecuencia natural del sistema midiendo la tasa de oscilación, así como el coeficiente de amortiguamiento midiendo la tasa de decaimiento. La frecuencia natural y el coeficiente de amortiguamiento no solo son importantes en la vibración libre, sino que también caracterizan cómo se comporta un sistema bajo vibración forzada.

^[11]

Vibración forzada con amortiguación

El comportamiento del modelo de amortiguador de masa de resorte varía con la adición de una fuerza armónica. Una fuerza de este tipo podría generarse, por ejemplo, por un desequilibrio rotatorio.

${\displaystyle F=F_{0}\sin(2\pi ft).\!}$

Sumando las fuerzas sobre la masa se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

${\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F_{0}\sin(2\pi ft).}$

La solución de estado estable de este problema se puede escribir como:

${\displaystyle x(t)=X\sin(2\pi ft+\phi ).\!}$

El resultado indica que la masa oscilará a la misma frecuencia, f , de la fuerza aplicada, pero con un cambio de fase. ${\displaystyle \phi .}$

La amplitud de la vibración “X” se define mediante la siguiente fórmula.

${\displaystyle X={F_{0} \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}}.}$

Donde “r” se define como la relación de la frecuencia de fuerza armónica sobre la frecuencia natural no amortiguada del modelo masa-resorte-amortiguador.

${\displaystyle r={\frac {f}{f_{n}}}.}$

El desplazamiento de fase, se define mediante la siguiente fórmula. ${\displaystyle \phi ,}$

${\displaystyle \phi =\arctan \left({\frac {-2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

La gráfica de estas funciones, llamada "respuesta de frecuencia del sistema", presenta una de las características más importantes de la vibración forzada. En un sistema ligeramente amortiguado, cuando la frecuencia de forzamiento se acerca a la frecuencia natural ( ), la amplitud de la vibración puede llegar a ser extremadamente alta. Este fenómeno se llama resonancia (posteriormente, la frecuencia natural de un sistema se denomina a menudo frecuencia resonante). En los sistemas de cojinetes de rotor, cualquier velocidad de rotación que excite una frecuencia resonante se denomina velocidad crítica . ${\displaystyle r\approx 1}$

Si se produce resonancia en un sistema mecánico, puede ser muy perjudicial y provocar un fallo eventual del sistema. Por consiguiente, una de las principales razones para el análisis de vibraciones es predecir cuándo puede producirse este tipo de resonancia y, a continuación, determinar qué medidas se deben adoptar para evitar que se produzca. Como muestra el gráfico de amplitud, añadir amortiguación puede reducir significativamente la magnitud de la vibración. Además, la magnitud se puede reducir si se puede desplazar la frecuencia natural en relación con la frecuencia de fuerza modificando la rigidez o la masa del sistema. Si no se puede modificar el sistema, tal vez se pueda desplazar la frecuencia de fuerza (por ejemplo, modificando la velocidad de la máquina que genera la fuerza).

A continuación se presentan algunos otros puntos con respecto a la vibración forzada que se muestran en los gráficos de respuesta de frecuencia.

• En una relación de frecuencia dada, la amplitud de la vibración, X , es directamente proporcional a la amplitud de la fuerza (por ejemplo, si duplica la fuerza, la vibración se duplica). ${\displaystyle F_{0}}$
• Con poca o ninguna amortiguación, la vibración está en fase con la frecuencia de forzamiento cuando la relación de frecuencia r  < 1 y 180 grados fuera de fase cuando la relación de frecuencia r  > 1
• Cuando r  ≪ 1 la amplitud es simplemente la desviación del resorte bajo la fuerza estática. Esta desviación se denomina desviación estática. Por lo tanto, cuando r  ≪ 1 los efectos del amortiguador y de la masa son mínimos. ${\displaystyle F_{0}.}$ ${\displaystyle \delta _{st}.}$
• Cuando r  ≫ 1 la amplitud de la vibración es en realidad menor que la deflexión estática En esta región la fuerza generada por la masa ( F  =  ma ) es dominante porque la aceleración vista por la masa aumenta con la frecuencia. Dado que la deflexión vista en el resorte, X , se reduce en esta región, la fuerza transmitida por el resorte ( F  =  kx ) a la base se reduce. Por lo tanto, el sistema masa-resorte-amortiguador está aislando la fuerza armónica de la base de montaje - conocido como aislamiento de vibraciones . Más amortiguamiento en realidad reduce los efectos del aislamiento de vibraciones cuando r  ≫ 1 porque la fuerza de amortiguamiento ( F  =  cv ) también se transmite a la base. ${\displaystyle \delta _{st}.}$
• Cualquiera que sea la amortiguación, la vibración está desfasada 90 grados con respecto a la frecuencia de forzamiento cuando la relación de frecuencia r  = 1, lo que es muy útil a la hora de determinar la frecuencia natural del sistema.
• Cualquiera que sea la amortiguación, cuando r  ≫ 1, la vibración está desfasada 180 grados con respecto a la frecuencia de forzamiento.
• Cualquiera que sea la amortiguación, cuando r  ≪ 1, la vibración está en fase con la frecuencia de forzamiento.

Causas de resonancia

La resonancia es fácil de entender si se considera el resorte y la masa como elementos de almacenamiento de energía: la masa almacena energía cinética y el resorte almacena energía potencial. Como se mencionó anteriormente, cuando la masa y el resorte no tienen ninguna fuerza externa que actúe sobre ellos, transfieren energía de un lado a otro a una velocidad igual a la frecuencia natural. En otras palabras, para bombear energía de manera eficiente tanto a la masa como al resorte, se requiere que la fuente de energía suministre la energía a una velocidad igual a la frecuencia natural. Aplicar una fuerza a la masa y al resorte es similar a empujar a un niño en un columpio: se necesita un empujón en el momento correcto para que el columpio se eleve cada vez más. Como en el caso del columpio, la fuerza aplicada no necesita ser alta para obtener grandes movimientos, sino que simplemente debe agregar energía al sistema.

El amortiguador, en lugar de almacenar energía, la disipa. Como la fuerza de amortiguación es proporcional a la velocidad, cuanto mayor es el movimiento, más energía disipa el amortiguador. Por lo tanto, hay un punto en el que la energía disipada por el amortiguador es igual a la energía añadida por la fuerza. En este punto, el sistema ha alcanzado su amplitud máxima y seguirá vibrando a este nivel mientras la fuerza aplicada se mantenga igual. Si no existe amortiguación, no hay nada que disipe la energía y, teóricamente, el movimiento seguirá creciendo hasta el infinito.

Aplicación de fuerzas “complejas” al modelo masa-resorte-amortiguador

En una sección anterior sólo se aplicó una fuerza armónica simple al modelo, pero esto se puede ampliar considerablemente utilizando dos potentes herramientas matemáticas. La primera es la transformada de Fourier que toma una señal como una función del tiempo ( dominio del tiempo ) y la descompone en sus componentes armónicos como una función de la frecuencia ( dominio de la frecuencia ). Por ejemplo, aplicando una fuerza al modelo masa-resorte-amortiguador que repite el siguiente ciclo: una fuerza igual a 1  newton durante 0,5 segundos y luego ninguna fuerza durante 0,5 segundos. Este tipo de fuerza tiene la forma de una onda cuadrada de 1 Hz .

Cómo se puede representar una onda cuadrada de 1 Hz como una suma de ondas sinusoidales (armónicos) y el espectro de frecuencia correspondiente. Haga clic y acceda a la resolución completa para ver una animación

La transformada de Fourier de la onda cuadrada genera un espectro de frecuencia que presenta la magnitud de los armónicos que componen la onda cuadrada (la fase también se genera, pero normalmente es de menor importancia y, por lo tanto, no suele representarse gráficamente). La transformada de Fourier también se puede utilizar para analizar funciones no periódicas , como transitorios (por ejemplo, impulsos) y funciones aleatorias. La transformada de Fourier casi siempre se calcula utilizando el algoritmo informático de transformada rápida de Fourier (FFT) en combinación con una función de ventana .

En el caso de nuestra fuerza de onda cuadrada, el primer componente es en realidad una fuerza constante de 0,5 newton y está representada por un valor a 0 Hz en el espectro de frecuencia. El siguiente componente es una onda sinusoidal de 1 Hz con una amplitud de 0,64. Esto se muestra mediante la línea a 1 Hz. Los componentes restantes están en frecuencias impares y se necesita una cantidad infinita de ondas sinusoidales para generar la onda cuadrada perfecta. Por lo tanto, la transformada de Fourier le permite interpretar la fuerza como una suma de fuerzas sinusoidales que se aplican en lugar de una fuerza más "compleja" (por ejemplo, una onda cuadrada).

En la sección anterior, la solución de vibración se dio para una sola fuerza armónica, pero la transformada de Fourier en general da múltiples fuerzas armónicas. La segunda herramienta matemática, el principio de superposición , permite la suma de las soluciones de múltiples fuerzas si el sistema es lineal . En el caso del modelo resorte-masa-amortiguador, el sistema es lineal si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento y la amortiguación es proporcional a la velocidad en el rango de movimiento de interés. Por lo tanto, la solución al problema con una onda cuadrada es sumar la vibración predicha de cada una de las fuerzas armónicas que se encuentran en el espectro de frecuencia de la onda cuadrada.

Modelo de respuesta de frecuencia

La solución de un problema de vibración puede verse como una relación de entrada/salida, donde la fuerza es la entrada y la salida es la vibración. Representar la fuerza y ​​la vibración en el dominio de la frecuencia (magnitud y fase) permite la siguiente relación:

${\displaystyle X(i\omega )=H(i\omega )\cdot F(i\omega ){\text{ or }}H(i\omega )={X(i\omega ) \over F(i\omega )}.}$

${\displaystyle H(i\omega )}$se denomina función de respuesta de frecuencia (también denominada función de transferencia , aunque técnicamente no es tan precisa) y tiene un componente de magnitud y de fase (si se representa como un número complejo , un componente real e imaginario). La magnitud de la función de respuesta de frecuencia (FRF) se presentó anteriormente para el sistema masa-resorte-amortiguador.

${\displaystyle |H(i\omega )|=\left|{X(i\omega ) \over F(i\omega )}\right|={1 \over k}{1 \over {\sqrt {(1-r^{2})^{2}+(2\zeta r)^{2}}}},{\text{ where }}r={\frac {f}{f_{n}}}={\frac {\omega }{\omega _{n}}}.}$

La fase del FRF también fue presentada anteriormente como:

${\displaystyle \angle H(i\omega )=-\arctan \left({\frac {2\zeta r}{1-r^{2}}}\right).}$

Modelo de respuesta de frecuencia

Por ejemplo, calculando la FRF para un sistema de masa-resorte-amortiguador con una masa de 1 kg, una rigidez del resorte de 1,93 N/mm y una relación de amortiguamiento de 0,1. Los valores del resorte y la masa dan una frecuencia natural de 7 Hz para este sistema específico. La aplicación de la onda cuadrada de 1 Hz de antes permite el cálculo de la vibración prevista de la masa. La figura ilustra la vibración resultante. En este ejemplo, sucede que el cuarto armónico de la onda cuadrada cae a 7 Hz. Por lo tanto, la respuesta de frecuencia del sistema de masa-resorte-amortiguador produce una vibración alta de 7 Hz a pesar de que la fuerza de entrada tenía un armónico de 7 Hz relativamente bajo. Este ejemplo destaca que la vibración resultante depende tanto de la función de fuerza como del sistema al que se aplica la fuerza.

La figura también muestra la representación en el dominio temporal de la vibración resultante. Esto se hace mediante la realización de una transformada de Fourier inversa que convierte los datos del dominio de frecuencia al dominio temporal. En la práctica, esto rara vez se hace porque el espectro de frecuencia proporciona toda la información necesaria.

La función de respuesta en frecuencia (FRF) no tiene por qué calcularse necesariamente a partir del conocimiento de la masa, la amortiguación y la rigidez del sistema, sino que puede medirse experimentalmente. Por ejemplo, si se aplica una fuerza conocida en un rango de frecuencias y se miden las vibraciones asociadas, se puede calcular la función de respuesta en frecuencia, caracterizando así el sistema. Esta técnica se utiliza en el campo del análisis modal experimental para determinar las características de vibración de una estructura.

Sistemas de múltiples grados de libertad y formas modales

Modelo de dos grados de libertad

El modelo simple de masa-resorte-amortiguador es la base del análisis de vibraciones. El modelo descrito anteriormente se denomina modelo de un solo grado de libertad (SDOF, por sus siglas en inglés), ya que se supone que la masa solo se mueve hacia arriba y hacia abajo. En sistemas más complejos, el sistema debe discretizarse en más masas que se mueven en más de una dirección, lo que suma grados de libertad. Los conceptos principales de múltiples grados de libertad (MDOF, por sus siglas en inglés) se pueden entender observando simplemente un modelo de dos grados de libertad como se muestra en la figura.

Las ecuaciones de movimiento del sistema 2DOF son:

${\displaystyle m_{1}{\ddot {x_{1}}}+(c_{1}+c_{2}){\dot {x_{1}}}-c_{2}{\dot {x_{2}}}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=f_{1},}$

${\displaystyle m_{2}{\ddot {x_{2}}}-c_{2}{\dot {x_{1}}}+(c_{2}+c_{3}){\dot {x_{2}}}-k_{2}x_{1}+(k_{2}+k_{3})x_{2}=f_{2}.\!}$

Esto se puede reescribir en formato matricial :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x_{1}}}\\{\ddot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x_{1}}}\\{\dot {x_{2}}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{Bmatrix}}.}$

Una forma más compacta de esta ecuación matricial se puede escribir como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\dot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}f\end{Bmatrix}}}$

donde y son matrices simétricas denominadas respectivamente matrices de masa, amortiguamiento y rigidez. Las matrices son matrices cuadradas NxN donde N es el número de grados de libertad del sistema. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}C\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}}$

El siguiente análisis se realiza en el caso en el que no hay amortiguamiento ni fuerzas aplicadas (es decir, vibración libre). La solución de un sistema amortiguado viscosamente es algo más complicada. ^[12]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {x}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}=0.}$

Esta ecuación diferencial se puede resolver asumiendo el siguiente tipo de solución:

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}.}$

Nota: El uso de la solución exponencial de es un truco matemático que se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Si se utiliza la fórmula de Euler y se toma solo la parte real de la solución, se obtiene la misma solución del coseno para el sistema de 1 grado de libertad. La solución exponencial se utiliza únicamente porque es más fácil de manipular matemáticamente. ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}}$

La ecuación entonces queda así:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}e^{i\omega t}=0.}$

Como no puede ser igual a cero, la ecuación se reduce a la siguiente. ${\displaystyle e^{i\omega t}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

Problema de valor propio

Esto se conoce como un problema de valor propio en matemáticas y se puede poner en el formato estándar multiplicando previamente la ecuación por ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}-\omega ^{2}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0}$

y si: y ${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}=0.}$

La solución del problema da como resultado N valores propios (es decir, ), donde N corresponde al número de grados de libertad. Los valores propios proporcionan las frecuencias naturales del sistema. Cuando estos valores propios se sustituyen nuevamente en el conjunto original de ecuaciones, los valores de que corresponden a cada valor propio se denominan vectores propios . Estos vectores propios representan las formas modales del sistema. La solución de un problema de valores propios puede ser bastante engorrosa (especialmente para problemas con muchos grados de libertad), pero afortunadamente la mayoría de los programas de análisis matemático tienen rutinas de valores propios. ${\displaystyle \omega _{1}^{2},\omega _{2}^{2},\cdots \omega _{N}^{2}}$ ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}X\end{Bmatrix}}}$

Los valores propios y los vectores propios a menudo se escriben en el siguiente formato matricial y describen el modelo modal del sistema:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{1}^{2}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &\omega _{N}^{2}\end{bmatrix}}{\text{ and }}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\cdots {\begin{Bmatrix}\psi _{N}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}.}$

Un ejemplo sencillo que utilice el modelo de 2 grados de libertad puede ayudar a ilustrar los conceptos. Supongamos que ambas masas tienen una masa de 1 kg y que la rigidez de los tres resortes es igual a 1000 N/m. La matriz de masa y rigidez para este problema es:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$y ${\displaystyle {\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

Entonces ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2000&-1000\\-1000&2000\end{bmatrix}}.}$

Los valores propios para este problema dados por una rutina de valores propios son:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }\omega _{r\diagdown }^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1000&0\\0&3000\end{bmatrix}}.}$

Las frecuencias naturales en unidades de hercios son entonces (recordando ) y ${\displaystyle \scriptstyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle \scriptstyle f_{1}=5.033\mathrm {\ Hz} }$ ${\displaystyle \scriptstyle f_{2}=8.717{\text{ Hz}}.}$

Las dos formas modales para las respectivas frecuencias naturales se dan como:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}\psi _{1}\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\psi _{2}\end{Bmatrix}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}-0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{1}{\begin{Bmatrix}0.707\\-0.707\end{Bmatrix}}_{2}\end{bmatrix}}.}$

Dado que el sistema es un sistema de 2 grados de libertad, hay dos modos con sus respectivas frecuencias y formas naturales. Los vectores de forma de modo no son el movimiento absoluto, sino que solo describen el movimiento relativo de los grados de libertad. En nuestro caso, el primer vector de forma de modo indica que las masas se mueven juntas en fase, ya que tienen el mismo valor y signo. En el caso del segundo vector de forma de modo, cada masa se mueve en dirección opuesta a la misma velocidad.

Ilustración de un problema de múltiples grados de libertad

Cuando hay muchos grados de libertad, un método para visualizar las formas de los modos es animarlas utilizando software de análisis estructural como Femap , ANSYS o VA One de ESI Group . En la siguiente figura se muestra un ejemplo de animación de formas de modos para una viga Ɪ en voladizo, como se demuestra utilizando el análisis modal en ANSYS. En este caso, se utilizó el método de elementos finitos para generar una aproximación de las matrices de masa y rigidez mediante el mallado del objeto de interés para resolver un problema de valores propios discretos . Tenga en cuenta que, en este caso, el método de elementos finitos proporciona una aproximación de la superficie mallada (para la que existe un número infinito de modos y frecuencias de vibración). Por lo tanto, este modelo relativamente simple que tiene más de 100 grados de libertad y, por lo tanto, tantas frecuencias naturales y formas de modos, proporciona una buena aproximación para las primeras frecuencias y modos naturales ^† . Generalmente, solo los primeros modos son importantes para aplicaciones prácticas.

^ Tenga en cuenta que al realizar una aproximación numérica de cualquier modelo matemático, se debe determinar la convergencia de los parámetros de interés.

Problema de múltiples grados de libertad convertido en un problema de un solo grado de libertad

Los vectores propios tienen propiedades muy importantes llamadas propiedades de ortogonalidad. Estas propiedades se pueden utilizar para simplificar enormemente la solución de modelos de múltiples grados de libertad. Se puede demostrar que los vectores propios tienen las siguientes propiedades:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$y son matrices diagonales que contienen los valores de masa y rigidez modales para cada uno de los modos. (Nota: Dado que los vectores propios (formas modales) se pueden escalar arbitrariamente, las propiedades de ortogonalidad se utilizan a menudo para escalar los vectores propios de modo que el valor de masa modal para cada modo sea igual a 1. Por lo tanto, la matriz de masa modal es una matriz identidad ) ${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}}$

Estas propiedades se pueden utilizar para simplificar en gran medida la solución de modelos de múltiples grados de libertad realizando la siguiente transformación de coordenadas.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}.}$

El uso de esta transformación de coordenadas en la ecuación diferencial de vibración libre original da como resultado la siguiente ecuación.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Aprovechando las propiedades de ortogonalidad al premultiplicar esta ecuación por ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}M\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}^{T}{\begin{bmatrix}K\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Las propiedades de ortogonalidad simplifican esta ecuación a:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}^{\diagdown }m_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}{\ddot {q}}\end{Bmatrix}}+{\begin{bmatrix}^{\diagdown }k_{r\diagdown }\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}=0.}$

Esta ecuación es la base del análisis de vibraciones para sistemas de múltiples grados de libertad. Se puede derivar un tipo de resultado similar para sistemas amortiguados. ^[12] La clave es que las matrices modales de masa y rigidez son matrices diagonales y, por lo tanto, las ecuaciones se han "desacoplado". En otras palabras, el problema se ha transformado de un problema de múltiples grados de libertad grande y difícil de manejar en muchos problemas de un solo grado de libertad que se pueden resolver utilizando los mismos métodos descritos anteriormente.

La solución de x se reemplaza por la solución de q , conocida como coordenadas modales o factores de participación modal.

Quizás sea más claro de entender si se escribe así: ${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Psi \end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}q\end{Bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}x_{n}\end{Bmatrix}}=q_{1}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{1}+q_{2}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{2}+q_{3}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{3}+\cdots +q_{N}{\begin{Bmatrix}\psi \end{Bmatrix}}_{N}.}$

Escrito de esta forma se puede ver que la vibración en cada uno de los grados de libertad es simplemente una suma lineal de las formas modales. Además, cuánto "participa" cada modo en la vibración final está definido por q, su factor de participación modal.

Modo de cuerpo rígido

Un sistema sin restricciones con varios grados de libertad experimenta tanto traslación y/o rotación de cuerpo rígido como vibración. La existencia de un modo de cuerpo rígido da como resultado una frecuencia natural cero. La forma del modo correspondiente se denomina modo de cuerpo rígido.

Véase también

• Ingeniería acústica
• Compuesto antivibratorio
• Máquina equilibradora
• Aislamiento de base
• Amortiguación
• Velocidad crítica
• Relación de amortiguamiento
• El método de Dunkerley
• Ingeniería sísmica
• Péndulo elástico
• Transformada rápida de Fourier
• Ingeniería Mecánica
• Resonancia mecánica
• Análisis modal
• Forma del modo
• Ruido y vibraciones en los buques marítimos
• Ruido, vibración y aspereza
• Palestesia
• Compensación pasiva del levantamiento
• Péndulo
• Vibración cuántica
• Vibración aleatoria
• Calidad de marcha
• Cociente de Rayleigh en el análisis de vibraciones
• Agitador (dispositivo de prueba)
• Choque
• Registrador de datos de vibraciones y choques
• Oscilador armónico simple
• Sonido
• Acústica estructural
• Dinámica estructural
• Equilibrado de neumáticos
• Vibración torsional
• Amortiguador de masa sintonizado
• Calibrador de vibraciones
• Control de vibraciones
• Aislamiento de vibraciones
• Ola
• Vibración de cuerpo entero

Referencias

1. Tustin, Wayne. Dónde colocar el acelerómetro de control: una de las decisiones más críticas en el desarrollo de pruebas de vibración aleatoria es también la más descuidada , EE-Evaluation Engineering, 2006
2. Escudier, Marcel; Atkins, Tony (2019). Diccionario de ingeniería mecánica (2.ª edición). Oxford University Press. doi :10.1093/acref/9780198832102.001.0001. ISBN 978-0-19-883210-2.
3. "Polytec InFocus 1/2007" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 24 de julio de 2019. Consultado el 24 de julio de 2019 .
4. Tony Araujo. La evolución de los dispositivos de fijación de vibraciones para automóviles , EE-Evaluation Engineering, 2019
5. Blanks, HS, "Técnicas de equivalencia para pruebas de vibración", Notas SVIC, pág. 17.
6. Araujo, T. y Yao, B., "Calificación del rendimiento de los dispositivos de vibración: una revisión de las mejores prácticas de la industria automotriz", Documento técnico de SAE 2020-01-1065, 2020, https://doi.org/10.4271/2020-01-1065.
7. Crawford, Art; Manual simplificado de análisis de vibraciones
8. Eshleman, R 1999, Vibraciones básicas de maquinaria: una introducción a las pruebas, el análisis y el monitoreo de máquinas
9. Mobius Institute; Analista de vibraciones categoría 2 – Notas del curso 2013
10. "Importancia del análisis de vibraciones en el mantenimiento". 2021-01-05 . Consultado el 2021-01-08 .
11. Simionescu, PA (2014). Herramientas de simulación y gráficos asistidos por computadora para usuarios de AutoCAD (1.ª ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4822-5290-3.
12. Maia, Silva. Análisis modal teórico y experimental , Research Studies Press Ltd., 1997, ISBN 0-471-97067-0 

Lectura adicional

• Lengua, Benson, Principios de vibración , Oxford University Press, 2001, ISBN 0-19-514246-2 
• Inman, Daniel J., Ingeniería de vibraciones , Prentice Hall, 2001, ISBN 0-13-726142-X 
• Thompson, WT, Teoría de vibraciones , Nelson Thornes Ltd, 1996, ISBN 0-412-78390-8 
• Hartog, Den, Vibraciones mecánicas , Dover Publications, 1985, ISBN 0-486-64785-4 
• Reynolds, Douglas D. (2016). Principios de ingeniería de la vibración mecánica (4.ª ed.). Bloomington, Indiana, EE. UU.: Trafford On Demand Publishing. pág. 485. ISBN 978-1-4907-1437-0.
• [1]
• Instituto de Seguridad y Salud Laboral del Seguro Social Alemán de Accidentes : Vibraciones en todo el cuerpo y en manos y brazos
• Manarikkal, I., Elsaha, F., Mba, D. y Laila, D. Modelado dinámico de cajas de engranajes planetarios con dientes agrietados mediante análisis vibracional, (2019) Avances en el monitoreo de condición de maquinaria en operaciones no estacionarias, pág. 240-250, Springer, Suiza; [2]

Enlaces externos

• Hojas de cálculo gratuitas de Excel para estimar parámetros modales
• Referencia de análisis de vibraciones – Mobius Institute
• Monitorización de condiciones y protección de maquinaria – Siemens AG