Cociente de Rayleigh en el análisis de vibraciones

El cociente de Rayleigh representa un método rápido para estimar la frecuencia natural de un sistema de vibración de múltiples grados de libertad, en el que se conocen las matrices de masa y rigidez.

El problema del valor propio para un sistema general de la forma en ausencia de amortiguamiento y fuerzas externas se reduce a $${\displaystyle M\,{\ddot {\textbf {q}}}(t)+C\,{\dot {\textbf {q}}}(t)+K\,{\textbf {q}}(t)={\textbf {Q}}(t)}$$ $${\displaystyle M\,{\ddot {\textbf {q}}}(t)+K\,{\textbf {q}}(t)=0}$$

La ecuación anterior se puede escribir también de la siguiente manera: donde , en la que representa la frecuencia natural, M y K son las matrices de masa y rigidez simétricas positivas reales respectivamente. $${\displaystyle K\,{\textbf {u}}=\lambda \,M\,{\textbf {u}}}$$ ${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega }$

Para un sistema de n grados de libertad la ecuación tiene n soluciones que satisfacen la ecuación ${\displaystyle \lambda _{m}}$ ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$ $${\displaystyle K\,{\textbf {u}}_{m}=\lambda _{m}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}$$

Al multiplicar ambos lados de la ecuación por y dividir por el escalar , es posible expresar el problema del valor propio de la siguiente manera: para m = 1, 2, 3, ..., n . ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}^{T}}$ ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}^{T}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}$ $${\displaystyle \lambda _{m}=\omega _{m}^{2}={\frac {{\textbf {u}}_{m}^{T}\,K\,{\textbf {u}}_{m}}{{\textbf {u}}_{m}^{T}\,M\,{\textbf {u}}_{m}}}}$$

En la ecuación anterior también es posible observar que el numerador es proporcional a la energía potencial mientras que el denominador representa una medida de la energía cinética. Además, la ecuación nos permite calcular la frecuencia natural solo si se conoce el vector propio (así como cualquier otro vector de desplazamiento). Por motivos académicos, si no se conocen los vectores modales, podemos repetir el proceso anterior pero con y en lugar de y , respectivamente. Al hacerlo, obtenemos el escalar , también conocido como cociente de Rayleigh: ^[1] ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$ ${\displaystyle \lambda =\omega ^{2}}$ ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ ${\displaystyle \lambda _{m}=\omega _{m}^{2}}$ ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$ ${\displaystyle R({\textbf {u}})}$ $${\displaystyle R({\textbf {u}})=\lambda =\omega ^{2}={\frac {{\textbf {u}}^{T}\,K\,{\textbf {u}}}{{\textbf {u}}^{T}\,M\,{\textbf {u}}}}}$$

Por lo tanto, el cociente de Rayleigh es un escalar cuyo valor depende del vector y puede calcularse con buena aproximación para cualquier vector arbitrario siempre que se encuentre razonablemente lejos de los vectores modales , i = 1,2,3,..., n . ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ ${\displaystyle {\textbf {u}}_{i}}$

Dado que es posible afirmar que el vector difiere del vector modal en una pequeña cantidad de primer orden, el resultado correcto del cociente de Rayleigh no diferirá sensiblemente del estimado y eso es lo que hace que este método sea muy útil. Una buena forma de estimar el vector modal más bajo , que generalmente funciona bien para la mayoría de las estructuras (aunque no está garantizado), es suponer que es igual al desplazamiento estático de una fuerza aplicada que tiene la misma distribución relativa de los términos de la matriz de masa diagonal. Esto último se puede dilucidar con el siguiente ejemplo de 3 grados de libertad. ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ ${\displaystyle {\textbf {u}}_{m}}$ ${\displaystyle (u_{1})}$ ${\displaystyle (u_{1})}$

Ejemplo – 3DOF

Como ejemplo, podemos considerar un sistema de 3 grados de libertad en el que las matrices de masa y rigidez de los mismos se conocen como sigue: $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{bmatrix}}\;,\quad K={\begin{bmatrix}3&-1&0\\-1&3&-2\\0&-2&2\end{bmatrix}}}$$

Para obtener una estimación de la frecuencia natural más baja elegimos un vector de prueba de desplazamiento estático obtenido al cargar el sistema con una fuerza proporcional a las masas: $${\displaystyle {\textbf {F}}=k{\begin{bmatrix}m_{1}\\m_{2}\\m_{3}\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}1\\1\\3\end{bmatrix}}}$$

De esta forma el vector de prueba será el que nos permitirá calcular el cociente de Rayleigh: $${\displaystyle {\textbf {u}}=K^{-1}{\textbf {F}}={\begin{bmatrix}2.5\\6.5\\8\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle R={\frac {{\textbf {u}}^{T}\,K\,{\textbf {u}}}{{\textbf {u}}^{T}\,M\,{\textbf {u}}}}=\cdots =0.137214}$$

Así, la frecuencia natural más baja, calculada mediante el cociente de Rayleigh es: $${\displaystyle w_{\text{Ray}}=0.370424}$$

Utilizando una herramienta de cálculo es bastante rápido comprobar cuánto difiere de la "real". En este caso, utilizando MATLAB, se ha calculado que la frecuencia natural más baja es: lo que ha llevado a un error al utilizar la aproximación de Rayleigh, lo que es un resultado notable. ${\displaystyle w_{\text{real}}=0.369308}$ ${\displaystyle 0.302315\%}$

El ejemplo muestra cómo el cociente de Rayleigh es capaz de obtener una estimación precisa de la frecuencia natural más baja. La práctica de utilizar el vector de desplazamiento estático como vector de prueba es válida, ya que el vector de desplazamiento estático tiende a parecerse al modo de vibración más bajo.

Referencias

1. Meirovitch, Leonard (2003). Fundamentos de vibración . McGraw-Hill Education. pág. 806. ISBN. 9780071219839.