tangente vertical

Tangente vertical a la función ƒ ( x ) en x  =  c .

En matemáticas , particularmente en cálculo , una tangente vertical es una recta tangente que es vertical . Debido a que una recta vertical tiene pendiente infinita , una función cuya gráfica tiene una tangente vertical no es diferenciable en el punto de tangencia.

Definición de límite

Una función ƒ tiene una tangente vertical en x  =  a si el cociente de diferencias utilizado para definir la derivada tiene límite infinito :

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={+\infty }\quad {\text{or}}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={-\infty }.}$

El primer caso corresponde a una tangente vertical con pendiente ascendente y el segundo caso a una tangente vertical con pendiente descendente. La gráfica de ƒ tiene una tangente vertical en x  =  a si la derivada de ƒ en a es infinito positivo o negativo.

Para una función continua , a menudo es posible detectar una tangente vertical tomando el límite de la derivada. Si

${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)={+\infty }{\text{,}}}$

entonces ƒ debe tener una tangente vertical con pendiente ascendente en x  =  a . De manera similar, si

${\displaystyle \lim _{x\to a}f'(x)={-\infty }{\text{,}}}$

entonces ƒ debe tener una tangente vertical con pendiente descendente en x  =  a . En estas situaciones, la tangente vertical a ƒ aparece como una asíntota vertical en la gráfica de la derivada.

cúspides verticales

Estrechamente relacionadas con las tangentes verticales están las cúspides verticales . Esto ocurre cuando las derivadas unilaterales son ambas infinitas, pero una es positiva y la otra negativa. Por ejemplo, si

${\displaystyle \lim _{h\to 0^{-}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={+\infty }\quad {\text{and}}\quad \lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}={-\infty }{\text{,}}}$

entonces la gráfica de ƒ tendrá una cúspide vertical que se inclina hacia arriba en el lado izquierdo y hacia abajo en el lado derecho.

Al igual que con las tangentes verticales, a veces se pueden detectar cúspides verticales para una función continua examinando el límite de la derivada. Por ejemplo, si

${\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f'(x)={-\infty }\quad {\text{and}}\quad \lim _{x\to a^{+}}f'(x)={+\infty }{\text{,}}}$

entonces la gráfica de ƒ tendrá una cúspide vertical en x  =  a que se inclina hacia abajo en el lado izquierdo y hacia arriba en el lado derecho.

Ejemplo

La función

${\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x}}}$

tiene una tangente vertical en x  = 0, ya que es continua y

${\displaystyle \lim _{x\to 0}f'(x)\;=\;\lim _{x\to 0}{\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x^{2}}}}}\;=\;\infty .}$

De manera similar, la función

${\displaystyle g(x)={\sqrt[{3}]{x^{2}}}}$

tiene una cúspide vertical en x  = 0, ya que es continua,

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{-}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}\;=\;{-\infty }{\text{,}}}$

y

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}g'(x)\;=\;\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {2}{3{\sqrt[{3}]{x}}}}\;=\;{+\infty }{\text{.}}}$

Referencias

• Tangentes verticales y cúspides. Consultado el 12 de mayo de 2006.