En las teorías de campo clásicas , la especificación lagrangiana del campo de flujo es una forma de observar el movimiento de los fluidos en la que el observador sigue una porción de fluido individual a medida que se mueve a través del espacio y el tiempo. [1] [2] Trazar la posición de una parcela individual a lo largo del tiempo proporciona la línea de ruta de la parcela. Esto se puede visualizar como estar sentado en un bote y flotando río abajo.
La especificación euleriana del campo de flujo es una forma de observar el movimiento de un fluido que se centra en ubicaciones específicas del espacio a través del cual fluye el fluido a medida que pasa el tiempo. [1] [2] Esto se puede visualizar sentándose en la orilla de un río y observando el agua pasar por el lugar fijo.
Las especificaciones lagrangianas y eulerianas del campo de flujo a veces se denominan vagamente marco de referencia lagrangiana y euleriana . Sin embargo, en general, tanto la especificación lagrangiana como la euleriana del campo de flujo se pueden aplicar en el marco de referencia de cualquier observador y en cualquier sistema de coordenadas utilizado dentro del marco de referencia elegido.
Estas especificaciones se reflejan en la dinámica de fluidos computacional , donde las simulaciones "eulerianas" emplean una malla fija , mientras que las "lagrangianas" (como las simulaciones sin malla ) presentan nodos de simulación que pueden moverse siguiendo el campo de velocidad .
En la especificación euleriana de un campo , el campo se representa como una función de la posición x y el tiempo t . Por ejemplo, la velocidad del flujo está representada por una función
Por otro lado, en la especificación lagrangiana , las parcelas de fluido individuales se siguen a través del tiempo. Las parcelas de fluido están etiquetadas por algún campo vectorial (independiente del tiempo) x 0 . (A menudo, se elige x 0 como la posición del centro de masa de las parcelas en algún momento inicial t 0. Se elige de esta manera particular para tener en cuenta los posibles cambios de forma a lo largo del tiempo. Por lo tanto, el centro de masa es una buena parametrización de la velocidad del flujo u de la parcela). [1] En la descripción lagrangiana, el flujo se describe mediante una función que da la posición de la partícula etiquetada x 0 en el tiempo t .
Las dos especificaciones están relacionadas de la siguiente manera: [2] porque ambos lados describen la velocidad de la partícula etiquetada x 0 en el tiempo t .
Dentro de un sistema de coordenadas elegido, x 0 y x se denominan coordenadas lagrangianas y coordenadas eulerianas del flujo, respectivamente.
Las especificaciones lagrangianas y eulerianas de la cinemática y dinámica del campo de flujo están relacionadas por la derivada material (también llamada derivada lagrangiana, derivada convectiva, derivada sustancial o derivada de partículas). [1]
Supongamos que tenemos un campo de flujo u , y también se nos da un campo genérico con especificación euleriana F ( x , t ). Ahora uno podría preguntarse acerca de la tasa total de cambio de F experimentada por una parcela de flujo específica. Esto se puede calcular como donde ∇ denota el operador nabla con respecto a x , y el operador u ⋅∇ debe aplicarse a cada componente de F. Esto nos dice que la tasa total de cambio de la función F a medida que las parcelas de fluido se mueven a través de un campo de flujo descrito por su especificación euleriana u es igual a la suma de la tasa de cambio local y la tasa de cambio convectiva de F. Esto es consecuencia de la regla de la cadena ya que estamos derivando la función F ( X ( x 0 , t ), t ) con respecto a t .
Las leyes de conservación para una unidad de masa tienen una forma lagrangiana, que junto con la conservación de la masa producen la conservación euleriana; por el contrario, cuando las partículas fluidas pueden intercambiar una cantidad (como energía o momento), sólo existen leyes de conservación eulerianas. [3]
[1] Objetividad en la mecánica del continuo clásica: movimientos, funciones eulerianas y lagrangianas; gradiente de deformación; Derivados de mentiras; Fórmula de adición de velocidades, Coriolis; Objetividad.
