Vector con entradas no negativas que suman uno
En matemáticas y estadística , un vector de probabilidad o vector estocástico es un vector con entradas no negativas que suman uno.
Las posiciones (índices) de un vector de probabilidad representan los posibles resultados de una variable aleatoria discreta , y el vector nos da la función de masa de probabilidad de esa variable aleatoria, que es la forma estándar de caracterizar una distribución de probabilidad discreta . [1]
Ejemplos
A continuación se muestran algunos ejemplos de vectores de probabilidad. Los vectores pueden ser columnas o filas.
![{\displaystyle x_{0}={\begin{bmatrix}0,5\\0,25\\0,25\end{bmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{2}={\begin{bmatrix}0,65 y 0,35\end{bmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{3}={\begin{bmatrix}0,3&0,5&0,07&0,1&0,03\end{bmatrix}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Interpretación geométrica
Escribir los componentes vectoriales de un vector como![{\displaystyle p}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{o}}\quad p= {\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&\cdots &p_{n}\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
los componentes del vector deben sumar uno:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cada componente individual debe tener una probabilidad entre cero y uno:
![{\displaystyle 0\leq p_{i}\leq 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para todos . Por tanto, el conjunto de vectores estocásticos coincide con el estándar -simplex . Es un punto si , un segmento si , un triángulo (relleno) si , un tetraedro (relleno) , etc.![{\displaystyle i}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (n-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n=2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n=4}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
- La media de cualquier vector de probabilidad es .
![{\displaystyle 1/n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- El vector de probabilidad más corto tiene el valor de cada componente del vector y tiene una longitud de .
![{\displaystyle 1/n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de texto 1/{\sqrt {n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- El vector de probabilidad más largo tiene el valor 1 en un solo componente y 0 en todos los demás, y tiene una longitud de 1.
- El vector más corto corresponde a la máxima incertidumbre, el más largo a la máxima certeza.
- La longitud de un vector de probabilidad es igual a ; donde es la varianza de los elementos del vector de probabilidad.
![{\textstyle {\sqrt {n\sigma ^{2}+1/n}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sigma ^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- ^ Jacobs, Konrad (1992), Estocástico discreto, Basler Lehrbücher [Libros de texto de Basilea], vol. 3, Birkhäuser Verlag, Basilea, pág. 45, doi :10.1007/978-3-0348-8645-1, ISBN 3-7643-2591-7, señor 1139766.