Vector de probabilidad

Vector con entradas no negativas que suman uno

En matemáticas y estadística , un vector de probabilidad o vector estocástico es un vector con entradas no negativas que suman uno.

Las posiciones (índices) de un vector de probabilidad representan los posibles resultados de una variable aleatoria discreta , y el vector nos da la función de masa de probabilidad de esa variable aleatoria, que es la forma estándar de caracterizar una distribución de probabilidad discreta . ^[1]

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de vectores de probabilidad. Los vectores pueden ser columnas o filas.

• ${\displaystyle x_{0}={\begin{bmatrix}0.5\\0.25\\0.25\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{2}={\begin{bmatrix}0.65&0.35\end{bmatrix}},}$
• ${\displaystyle x_{3}={\begin{bmatrix}0.3&0.5&0.07&0.1&0.03\end{bmatrix}}.}$

Interpretación geométrica

Escribiendo los componentes vectoriales de un vector como ${\displaystyle p}$

${\displaystyle p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad p={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&\cdots &p_{n}\end{bmatrix}}}$

Los componentes del vector deben sumar uno:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1}$

Cada componente individual debe tener una probabilidad entre cero y uno:

${\displaystyle 0\leq p_{i}\leq 1}$

para todos . Por lo tanto, el conjunto de vectores estocásticos coincide con el -simplex estándar . Es un punto si , un segmento si , un triángulo (relleno) si , un tetraedro (relleno) , etc. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=4}$

Propiedades

• La media de cualquier vector de probabilidad es . ${\displaystyle 1/n}$
• El vector de probabilidad más corto tiene el valor de cada componente del vector y tiene una longitud de . ${\displaystyle 1/n}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {n}}}$
• El vector de probabilidad más largo tiene el valor 1 en un solo componente y 0 en todos los demás, y tiene una longitud de 1.
• El vector más corto corresponde a la máxima incertidumbre, el más largo a la máxima certeza.
• La longitud de un vector de probabilidad es igual a ; donde es la varianza de los elementos del vector de probabilidad. ${\textstyle {\sqrt {n\sigma ^{2}+1/n}}}$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

Véase también

• Matriz estocástica
• Distribución de Dirichlet

Referencias

1. Jacobs, Konrad (1992), Estocástico discreto, Basler Lehrbücher [Libros de texto de Basilea], vol. 3, Birkhäuser Verlag, Basilea, pág. 45, doi :10.1007/978-3-0348-8645-1, ISBN 3-7643-2591-7, Sr.  1139766.