Vector Darboux

Vector de velocidad angular del marco de Frenet de una curva espacial

En geometría diferencial , especialmente en la teoría de curvas espaciales, el vector de Darboux es el vector de velocidad angular del marco de Frenet de una curva espacial. ^[1] Recibe su nombre en honor a Gaston Darboux, quien lo descubrió. ^[2] También se le llama vector de momento angular , porque es directamente proporcional al momento angular .

En términos del aparato de Frenet-Serret, el vector de Darboux ω se puede expresar como ^[3]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\tau \mathbf {T} +\kappa \mathbf {B} \qquad \qquad (1)}$

y tiene las siguientes propiedades simétricas : ^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {T} =\mathbf {T'} ,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {N} =\mathbf {N'} ,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {B} =\mathbf {B'} ,}$

que puede derivarse de la ecuación (1) mediante el teorema de Frenet-Serret (o viceversa).

Sea un objeto rígido el que se mueve a lo largo de una curva regular descrita paramétricamente por β ( t ). Este objeto tiene su propio sistema de coordenadas intrínsecas. A medida que el objeto se mueve a lo largo de la curva, supongamos que su sistema de coordenadas intrínsecas se mantiene alineado con el marco de Frenet de la curva. A medida que lo hace, el movimiento del objeto se describirá mediante dos vectores: un vector de traslación y un vector de rotación ω , que es un vector de velocidad de área: el vector Darboux.

Nótese que esta rotación es cinemática , en lugar de física, porque, por lo general, cuando un objeto rígido se mueve libremente en el espacio, su rotación es independiente de su traslación. La excepción sería si la rotación del objeto está físicamente restringida para alinearse con la traslación del objeto, como es el caso del carro de una montaña rusa .

Consideremos el objeto rígido moviéndose suavemente a lo largo de la curva regular. Una vez que se "elimina el factor de traslación", se observa que el objeto gira de la misma manera que su sistema de Frenet. La rotación total del sistema de Frenet es la combinación de las rotaciones de cada uno de los tres vectores de Frenet:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }+{\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }.}$

Cada vector de Frenet se mueve en torno a un "origen" que es el centro del objeto rígido (elija un punto dentro del objeto y llámelo su centro). La velocidad superficial del vector tangente es:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}{\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T} (t+\Delta t) \over 2\,\Delta t}}$

${\displaystyle ={\mathbf {T} (t)\times \mathbf {T'} (t) \over 2}.}$

Asimismo,

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={1 \over 2}\ \mathbf {N} (t)\times \mathbf {N'} (t),}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={1 \over 2}\ \mathbf {B} (t)\times \mathbf {B'} (t).}$

Ahora aplique el teorema de Frenet-Serret para encontrar los componentes de velocidad areal:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {T} }={1 \over 2}\mathbf {T} \times \mathbf {T'} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {T} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\kappa \mathbf {B} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {N} }={1 \over 2}\mathbf {N} \times \mathbf {N'} ={1 \over 2}(-\kappa \mathbf {N} \times \mathbf {T} +\tau \mathbf {N} \times \mathbf {B} )={1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathbf {B} }={1 \over 2}\mathbf {B} \times \mathbf {B'} =-{1 \over 2}\tau \mathbf {B} \times \mathbf {N} ={1 \over 2}\tau \mathbf {T} }$

de modo que

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={1 \over 2}\kappa \mathbf {B} +{1 \over 2}(\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} )+{1 \over 2}\tau \mathbf {T} =\kappa \mathbf {B} +\tau \mathbf {T} ,}$

como se afirma.

El vector Darboux proporciona una forma concisa de interpretar la curvatura κ y la torsión τ geométricamente: la curvatura es la medida de la rotación del marco de Frenet alrededor del vector unitario binormal, mientras que la torsión es la medida de la rotación del marco de Frenet alrededor del vector unitario tangente. ^[2]

Referencias

1. Stoker, JJ (2011), Geometría diferencial, Matemáticas puras y aplicadas, vol. 20, John Wiley & Sons, pág. 62, ISBN 9781118165478.
2. Farouki, Rida T. (2008), Curvas pitagóricas-hodógrafas: álgebra y geometría inseparables, Geometría y computación, vol. 1, Springer, pág. 181, ISBN 9783540733980.
3. Oprea, John (2007), Geometría diferencial y sus aplicaciones, Libros de texto de la Asociación Matemática de Estados Unidos, MAA, pág. 21, ISBN 9780883857489.