Barrio (matemáticas)

Conjunto abierto que contiene un punto dado.

Un conjunto en el plano es una vecindad de un punto si un pequeño disco alrededor está contenido en El pequeño disco alrededor es un conjunto abierto ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U.}$

En topología y áreas afines de las matemáticas , una vecindad (o vecindad ) es uno de los conceptos básicos en un espacio topológico . Está muy relacionado con los conceptos de decorado abierto e interior . Intuitivamente hablando, una vecindad de un punto es un conjunto de puntos que contienen ese punto y donde uno puede alejarse una cierta cantidad en cualquier dirección de ese punto sin salir del conjunto.

Definiciones

Barrio de un punto

Si es un espacio topológico y es un punto en entonces una vecindad ^[1] de es un subconjunto de que incluye un conjunto abierto que contiene , ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p\in U\subseteq V\subseteq X.}$$

Esto equivale al punto perteneciente al interior topológico de en ${\displaystyle p\in X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$

La vecindad no necesita ser un subconjunto abierto de Cuando está abierto (o cerrado, compacto, etc.) en él se llama ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X,}$barrio abierto ^[2](respectivamente barrio cerrado, barrio compacto, etc.). Algunos autores^[3]exigen que los barrios sean abiertos, por lo que es importante tener en cuenta sus convenciones.

Un rectángulo cerrado no tiene vecindad en ninguna de sus esquinas ni en su límite, ya que no existe un conjunto abierto que contenga ninguna esquina.

Un conjunto que es barrio de cada uno de sus puntos es abierto ya que puede expresarse como la unión de conjuntos abiertos que contienen cada uno de sus puntos. Un rectángulo cerrado, como se ilustra en la figura, no es una vecindad de todos sus puntos; Los puntos en los bordes o esquinas del rectángulo no están contenidos en ningún conjunto abierto que esté contenido dentro del rectángulo.

La colección de todas las vecindades de un punto se llama sistema de vecindad en el punto.

Barrio de un conjunto

Si es un subconjunto de un espacio topológico , entonces una vecindad de es un conjunto que incluye un conjunto abierto que contiene , ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S\subseteq U\subseteq V\subseteq X.}$$

si y sólo siinterior ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$vecindad abierta ${\displaystyle S.}$

en un espacio métrico

Un conjunto en el plano y una vecindad uniforme de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S.}$

La vecindad épsilon de un número en la recta numérica real. ${\displaystyle a}$

En un espacio métrico un conjunto es una vecindad de un punto si existe una bola abierta con centro y radio tales que ${\displaystyle M=(X,d),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r>0,}$

$${\displaystyle B_{r}(p)=B(p;r)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$

${\displaystyle V.}$

${\displaystyle V}$Se llama vecindad uniforme de un conjunto si existe un número positivo tal que para todos los elementos de ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle S,}$

$${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(x,p)<r\}}$$

${\displaystyle V.}$

Bajo la misma condición, para la vecindad de un conjunto es el conjunto de todos los puntos en que están a una distancia menor que de (o equivalentemente, es la unión de todas las bolas abiertas de radio que están centradas en un punto en ): ${\displaystyle r>0,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle S_{r}=\bigcup \limits _{p\in {}S}B_{r}(p).}$$

De ello se sigue directamente que una vecindad es una vecindad uniforme, y que un conjunto es una vecindad uniforme si y sólo si contiene una vecindad para algún valor de ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r.}$

Ejemplos

El conjunto M es una vecindad del número a , porque hay una ε-vecindad de a que es un subconjunto de M.

Dado el conjunto de números reales con la métrica euclidiana habitual y un subconjunto definido como ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle V:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }B\left(n\,;\,1/n\right),}$$

números naturalesno ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Topología de vecindades

La definición anterior es útil si la noción de conjunto abierto ya está definida. Existe una forma alternativa de definir una topología, definiendo primero el sistema de vecindad y luego los conjuntos abiertos como aquellos conjuntos que contienen una vecindad de cada uno de sus puntos.

Un sistema de vecindad es la asignación de un filtro de subconjuntos de a cada uno de tal manera que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$

1. el punto es un elemento de cada uno en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(x)}$
2. cada entrada contiene algo de tal que para cada entrada está en ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle N(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N(y).}$

Se puede demostrar que ambas definiciones son compatibles, es decir, la topología obtenida a partir del sistema de vecindad definido mediante conjuntos abiertos es la original, y viceversa cuando se parte de un sistema de vecindad.

Barrios uniformes

En un espacio uniforme se llama vecindad uniforme de si existe un entorno tal que contiene todos los puntos de que están cerca de algún punto de que es, para todos ${\displaystyle S=(X,\Phi ),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U\in \Phi }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P;}$ ${\displaystyle U[x]\subseteq V}$ ${\displaystyle x\in P.}$

Barrio eliminado

Una vecindad eliminada de un punto (a veces llamada vecindad perforada ) es una vecindad de sin. Por ejemplo, el intervalo es una vecindad de en la línea real , por lo que el conjunto es una vecindad eliminada de Una vecindad eliminada de un punto dado no está en De hecho, una vecindad del punto. El concepto de vecindad eliminada ocurre en la definición del límite de una función y en la definición de puntos límite (entre otras cosas). ^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle \{p\}.}$ ${\displaystyle (-1,1)=\{y:-1<y<1\}}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\displaystyle (-1,0)\cup (0,1)=(-1,1)\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle 0.}$

Ver también

• Punto aislado  : punto de un subconjunto S alrededor del cual no hay otros puntos de S
• Sistema de vecindarios  : (para un punto x) colección de todos los vecindarios para el punto xPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Región (matemáticas)  : subconjunto abierto conectado de un espacio topológicoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Vecindad tubular  : vecindad de una subvariedad homeomorfa al paquete normal de esa subvariedadPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa

Notas

1. Willard 2004, Definición 4.1.
2. Dixmier, Jacques (1984). Topología general . Textos de Pregrado en Matemáticas. Traducido por Sterling K. Berberian. Saltador. pag. 6.ISBN​ 0-387-90972-9. Según esta definición, una vecindad abierta de ${\displaystyle x}$ no es más que un subconjunto abierto de que contiene ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle x.}$
3. Engelking 1989, pág. 12.
4. Peters, Charles (2022). "Profesor Charles Peters" (PDF) . Matemáticas de la Universidad de Houston . Consultado el 3 de abril de 2022 .

Referencias

• Bredon, Glen E. (1993). Topología y geometría . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Kaplansky, Irving (2001). Teoría de conjuntos y espacios métricos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2694-8.
• Kelley, John L. (1975). Topología general . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90125-6.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.