Variedad Sasakiana

En geometría diferencial , una variedad sasakiana (llamada así en honor a Shigeo Sasaki ) es una variedad de contacto equipada con un tipo especial de métrica de Riemann , llamada métrica sasakiana . ${\displaystyle (M,\theta )}$ ${\displaystyle g}$

Definición

Una métrica sasakiana se define utilizando la construcción del cono de Riemann . Dada una variedad de Riemann , su cono de Riemann es el producto ${\displaystyle (M,g)}$

${\displaystyle (M\times {\mathbb {R} }^{>0})\,}$

de con una media línea , dotada del cono métrico ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}$

${\displaystyle t^{2}g+dt^{2},\,}$

¿Dónde está el parámetro en ? ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}$

Un colector equipado con una forma 1 está en contacto si y sólo si la forma 2 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle d(t^{2}\theta )=t^{2}\,d\theta +2t\,dt\wedge \theta \,}$

En su cono es simpléctica (esta es una de las posibles definiciones de una estructura de contacto). Una variedad de Riemann de contacto es Sasakiana, si su cono de Riemann con la métrica del cono es una variedad de Kähler con forma de Kähler

${\displaystyle t^{2}\,d\theta +2t\,dt\wedge \theta .}$

Ejemplos

Como ejemplo, consideremos

${\displaystyle S^{2n-1}\hookrightarrow {\mathbb {R} }^{2n}={\mathbb {C} }^{n}}$

donde el lado derecho es una variedad natural de Kähler y se lee como el cono sobre la esfera (dotada de métrica incorporada). La 1-forma de contacto en es la forma asociada al vector tangente , construida a partir del vector unitario normal a la esfera ( siendo la estructura compleja en ). ${\displaystyle S^{2n-1}}$ ${\displaystyle i{\vec {N}}}$ ${\displaystyle {\vec {N}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }^{n}}$

Otro ejemplo no compacto es con coordenadas dotadas de formulario de contacto. ${\displaystyle {{\mathbb {R} }^{2n+1}}}$ ${\displaystyle ({\vec {x}},{\vec {y}},z)}$

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}dz+\sum _{i}y_{i}\,dx_{i}}$

y la métrica de Riemann

${\displaystyle g=\sum _{i}(dx_{i})^{2}+(dy_{i})^{2}+\theta ^{2}.}$

Como tercer ejemplo consideremos:

${\displaystyle {\mathbb {P} }^{2n-1}{\mathbb {R} }\hookrightarrow {\mathbb {C} }^{n}/{\mathbb {Z} }_{2}}$

donde el lado derecho tiene una estructura Kähler natural y el grupo actúa por reflexión en el origen. ${\displaystyle {\mathbb {Z} }_{2}}$

Historia

Las variedades sasakianas fueron introducidas en 1960 por el geómetra japonés Shigeo Sasaki . ^[1] No hubo mucha actividad en este campo después de mediados de la década de 1970, hasta el advenimiento de la teoría de cuerdas . Desde entonces, las variedades sasakianas han ganado prominencia en la física y la geometría algebraica, principalmente debido a una serie de artículos de Charles P. Boyer y Krzysztof Galicki y sus coautores.

El campo vectorial de Reeb

El campo vectorial homotético en el cono sobre una variedad sasakiana se define como

${\displaystyle t\partial /\partial t.}$

Como el cono es por definición Kähler, existe una estructura compleja J . El campo vectorial de Reeb en la variedad sasaskiana se define como

${\displaystyle \xi =-J(t\partial /\partial t).}$

No desaparece en ningún lado. Conmuta con todos los vectores de Killing holomorfos en el cono y, en particular, con todas las isometrías de la variedad sasakiana. Si las órbitas del campo vectorial se cierran, entonces el espacio de órbitas es un orbifold de Kähler. El campo vectorial de Reeb en la variedad sasakiana en el radio unitario es un campo vectorial unitario y tangencial a la incrustación.

Variedades de Sasaki-Einstein

Una variedad sasakiana es una variedad cuyo cono de Riemann es Kähler. Si, además, este cono es Ricci-plano , se llama Sasaki–Einstein ; si es hiperkähler , se llama 3-Sasakiana . Cualquier variedad 3-Sasakiana es a la vez una variedad de Einstein y una variedad de espín. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Si M es una variedad de Kahler-Einstein de curvatura escalar positiva, entonces, por una observación de Shoshichi Kobayashi , el fibrado circular S en su fibrado lineal canónico admite una métrica de Sasaki-Einstein, de manera que hace que la proyección de S a M sea una inmersión riemanniana. (Por ejemplo, se deduce que existen métricas de Sasaki-Einstein en fibrados circulares adecuados sobre las superficies del Pezzo 3.ª a 8.ª ). Si bien esta construcción de inmersión riemanniana proporciona una imagen local correcta de cualquier variedad de Sasaki-Einstein, la estructura global de dichas variedades puede ser más complicada. Por ejemplo, se pueden construir de manera más general variedades de Sasaki-Einstein comenzando desde un orbifold de Kahler-Einstein M. Usando esta observación, Boyer, Galicki y János Kollár construyeron infinitos homeotipos de 5-variedades de Sasaki-Einstein. La misma construcción muestra que el espacio de módulos de las métricas de Einstein en la 5-esfera tiene al menos varios cientos de componentes conectados.

Notas

1. "Biografía de Sasaki".

Referencias

• Shigeo Sasaki , "Sobre variedades diferenciables con ciertas estructuras que están estrechamente relacionadas con la estructura de contacto casi absoluto", Tohoku Math. J. 2 (1960), 459-476.
• Charles P. Boyer , Krzysztof Galicki, geometría sasakiana
• Charles P. Boyer, Krzysztof Galicki, "Variedades 3-Sasakianas", Surveys Diff. Geom. 7 (1999) 123-184
• Dario Martelli, James Sparks y Shing-Tung Yau , "Variedades Sasaki-Einstein y minimización de volumen", ArXiv hep-th/0603021

Enlaces externos

• Página de EoM, variedad sasakiana