colector de solución

En matemáticas , una variedad de solución es un espacio homogéneo de un grupo de Lie conectado y solucionable . También se puede caracterizar como un cociente de un grupo de Lie conectado y solucionable por un subgrupo cerrado . (Algunos autores también requieren que el grupo de Lie sea simplemente conexo o que el cociente sea compacto). Anatoly Maltsev introdujo una clase especial de solvvariedades, las nilvariedades , quien demostró los primeros teoremas estructurales. Las propiedades de las variedades de solución generales son similares, pero algo más complicadas.

Ejemplos

• Un grupo de Lie con solución es trivialmente una variedad de solución.
• Todo grupo nilpotente tiene solución, por lo tanto, cada variedad nil es una variedad solucionable. Esta clase de ejemplos incluye toros n -dimensionales y el cociente del grupo de Heisenberg real tridimensional por su subgrupo integral de Heisenberg.
• La banda de Möbius y la botella de Klein son variedades solv que no son variedades nulas.
• El toro de mapeo de un difeomorfismo de Anosov del n -toro es una variedad de soluciones. Porque estas variedades pertenecen al Sol , una de las ocho geometrías de Thurston . ${\displaystyle n=2}$

Propiedades

• Una variedad de solv es difeomorfa al espacio total de un paquete de vectores sobre alguna variedad de solv compacta. Esta afirmación fue conjeturada por George Mostow y demostrada por Louis Auslander y Richard Tolimieri.
• El grupo fundamental de una variedad de soluciones arbitraria es policíclico .
• Una variedad de solv compacta está determinada hasta el difeomorfismo por su grupo fundamental.
• Los grupos fundamentales de variedades de solv compactas pueden caracterizarse como extensiones de grupos de grupos abelianos libres de rango finito por grupos nilpotentes libres de torsión generados finitamente.
• Cada variedad de soluciones es asférica . Entre todos los espacios homogéneos compactos, las variedades de solv pueden caracterizarse por las propiedades de ser asféricas y tener un grupo fundamental resoluble.

Lo completo

Sea un álgebra de mentira real . Se llama álgebra de Lie completa si cada mapa ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} (X)\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},X\in {\mathfrak {g}}}$

en su representación adjunta es hiperbólica, es decir, sólo tiene valores propios reales . Sea G un grupo de Lie resoluble cuyo álgebra de Lie sea completa. Entonces, para cualquier subgrupo cerrado de G , la variedad de soluciones es una variedad de soluciones completa . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$

Referencias

• Auslander, Louis (1973), "Una exposición de la estructura de solvmanifolds. Parte I: Teoría algebraica" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 79 (2): 227–261, doi : 10.1090/S0002-9904- 1973-13134-9 , SEÑOR  0486307
  • — (1973), "Parte II: flujos inducidos por $G$", Bull. América. Matemáticas. Soc. , 79 (2): 262–285, doi : 10.1090/S0002-9904-1973-13139-8 , SEÑOR  0486308
• Cooper, Daryl; Scharlemann, Martin (1999), "La estructura de las divisiones de Heegaard de una variedad de solv" (PDF) , Actas de la 6.ª Conferencia de Geometría y Topología de Gökova, Revista Turca de Matemáticas , 23 (1): 1–18, ISSN  1300-0098, MR  1701636
• Gorbatsevich, VV (2001) [1994], "Solv manifold", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press