En geometría algebraica real , una función de Nash sobre un subconjunto semialgebraico abierto U ⊂ R n es una función analítica f : U → R que satisface una ecuación polinómica no trivial P ( x , f ( x )) = 0 para todo x en U (Un subconjunto semialgebraico de R n es un subconjunto obtenido a partir de subconjuntos de la forma { x en R n : P ( x )=0} o { x en R n : P ( x ) > 0}, donde P es un polinomio, tomando uniones finitas, intersecciones finitas y complementos). Algunos ejemplos de funciones de Nash:
Las funciones de Nash son aquellas funciones necesarias para tener un teorema de función implícito en la geometría algebraica real.
Junto con las funciones de Nash se definen las variedades de Nash , que son subvariedades analíticas semialgebraicas de algún R n . Una aplicación de Nash entre variedades de Nash es entonces una aplicación analítica con grafo semialgebraico. Las funciones y variedades de Nash reciben su nombre de John Forbes Nash, Jr. , quien demostró (1952) que cualquier variedad compacta y suave admite una estructura de variedad de Nash, es decir, es difeomorfa con respecto a alguna variedad de Nash. De manera más general, una variedad suave admite una estructura de variedad de Nash si y solo si es difeomorfa con respecto al interior de alguna variedad compacta y suave posiblemente con borde. El resultado de Nash fue completado más tarde (1973) por Alberto Tognoli, quien demostró que cualquier variedad compacta y suave es difeomorfa con respecto a alguna variedad algebraica real afín; En realidad, cualquier variedad de Nash es difeomorfa de Nash respecto de una variedad algebraica real afín. Estos resultados ejemplifican el hecho de que la categoría de Nash es algo intermedia entre las categorías suaves y las algebraicas.
Las propiedades locales de las funciones de Nash son bien conocidas. El anillo de gérmenes de funciones de Nash en un punto de una variedad de Nash de dimensión n es isomorfo al anillo de series de potencias algebraicas en n variables (es decir, aquellas series que satisfacen una ecuación polinómica no trivial), que es la henselización del anillo de gérmenes de funciones racionales. En particular, es un anillo local regular de dimensión n .
Las propiedades globales son más difíciles de obtener. El hecho de que el anillo de funciones de Nash en una variedad de Nash (incluso no compacta) sea noetheriano fue demostrado independientemente (1973) por Jean-Jacques Risler y Gustave Efroymson. Las variedades de Nash tienen propiedades similares a los teoremas de Cartan A y B sobre variedades de Stein , pero más débiles que ellos . Sea δ el haz de gérmenes de funciones de Nash en una variedad de Nash M , y δ un haz coherente de -ideales. Supongamos que es finito, es decir, existe una cobertura semialgebraica abierta finita de M tal que, para cada i , es generada por funciones de Nash en . Entonces es generada globalmente por funciones de Nash en M , y la función natural
es sobreyectiva. Sin embargo
contrariamente al caso de las variedades de Stein.
Las funciones y variedades de Nash se pueden definir sobre cualquier cuerpo real cerrado en lugar del cuerpo de números reales, y las afirmaciones anteriores siguen siendo válidas. Resumen Las funciones de Nash también se pueden definir sobre el espectro real de cualquier anillo conmutativo.
