Variedad Hantzsche-Wendt

Colector cerrado plano de 3 vías

La variedad de Hantzsche-Wendt , también conocida como variedad HW o didicosma , ^[1] es una variedad 3- plana , compacta y orientable , estudiada por primera vez por Walter Hantzsche e Hilmar Wendt en 1934. ^[2] Es la única variedad 3-plana cerrada con el primer número de Betti cero. Su grupo de holonomía es . ^[3] Se ha sugerido como una forma posible del universo porque su geometría complicada puede oscurecer las características del fondo cósmico de microondas que surgirían si el universo fuera una variedad plana cerrada , como el 3-toro . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}}$

Construcción

La variedad Hantzsche-Wendt está formada por dos cubos apilados uno sobre otro pegando las caras marcadas de manera idéntica de modo que las marcas queden alineadas. ^[5]

La variedad HW se puede construir a partir de dos cubos que comparten una cara. Una construcción se realiza de la siguiente manera: ^[5]

1. Las caras superior e inferior están pegadas una a la otra.
2. Uno de los lados restantes se pega al lado opuesto con un giro de 180°.
3. Una de las caras restantes del cubo superior está pegada a la cara correspondiente del cubo inferior, reflejada a través de un eje paralelo al eje largo del cubo doble.
4. Repita el paso 3 para el par de caras restante.

Generalizaciones

Además de la orientable (la variedad de Hantzsche-Wendt), hay dos 3-variedades planas no orientables con grupo de holonomía , conocidas como primer y segundo anfidicosmos , ambas con primer número de Betti 1. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{2}}$

Se pueden construir variedades planas n -dimensionales similares con holonomía , conocidas como variedades de Hantzsche-Wendt generalizadas , para cualquier n ≥2, pero las orientables existen solo en dimensiones impares. ^[1] El número de variedades HW orientables hasta el difeomorfismo aumenta exponencialmente con la dimensión. ^[3] Todas estas tienen el primer número de Betti β ₁ 0 o 1. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}^{n-1}}$

Trivialidades

El didicosmo es epónimo y juega un papel central en el cuento de ciencia ficción de Greg Egan " Didicosmo ".

Referencias

1. Rossetti, Juan P.; Szczepański, Andrzej (2005). "Variedades planas generalizadas de Hantzsche-Wendt". Revista Matemática Iberoamericana . 21 (3): 1053-1070. arXiv : matemáticas/0208205 . doi :10.4171/RMI/445. S2CID  8222899.
2. Hantzsche, Walter; Wendt, Hilmar (1935). "Dreidimensionale euklidische Raumformen". Annalen Matemáticas . 110 (1): 593–611. doi :10.1007/bf01448045. ISSN  0025-5831. S2CID  119961050.
3. Miatello, RJ; Rossetti, JP (29 de octubre de 1999). "Múltiples isoespectrales de Hantzsche-Wendt". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle) . 1999 (515): 1–23. doi :10.1515/crll.1999.077. ISSN  1435-5345.
4. Aurich, R; Lustig, S (21 de agosto de 2014). "La variedad de Hantzsche-Wendt en topología cósmica". Gravedad clásica y cuántica . 31 (16): 165009. arXiv : 1403.2190 . Bibcode :2014CQGra..31p5009A. doi :10.1088/0264-9381/31/16/165009. ISSN  0264-9381. S2CID  119223504.
5. Demianski, Marek (2003). "Topología del universo y la radiación cósmica de fondo de microondas". En Sanchez, Norma ; Parijskij, Yuri (eds.). El universo temprano y el fondo cósmico de microondas: teoría y observaciones . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 166–169. ISBN 978-1-4020-1800-8.