Colector de semanas

En matemáticas , la variedad de Weeks , a veces llamada variedad de Fomenko–Matveev–Weeks , es una 3-variedad hiperbólica cerrada obtenida por (5, 2) y (5, 1) cirugías de Dehn en el enlace de Whitehead . Tiene un volumen aproximadamente igual a 0,942707… ( OEIS : A126774 ) y David Gabai , Robert Meyerhoff y Peter Milley (2009) demostraron que tiene el volumen más pequeño de cualquier 3-variedad hiperbólica orientable cerrada . La variedad fue descubierta independientemente por Jeffrey Weeks  (1985) así como por Sergei V. Matveev y Anatoly T. Fomenko  (1988).

Volumen

Dado que la variedad Weeks es una 3-variedad hiperbólica aritmética , su volumen se puede calcular utilizando sus datos aritméticos y una fórmula debida a Armand Borel :

${\displaystyle V_{w}={\frac {3\cdot 23^{3/2}\zeta _{k}(2)}{4\pi ^{4}}}=0.942707\dots }$

donde es el campo numérico generado al satisfacer y es la función zeta de Dedekind de . ^[1] Alternativamente, ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ^{3}-\theta +1=0}$ ${\displaystyle \zeta _{k}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle V_{w}=\Im ({\rm {{Li}_{2}(\theta )+\ln |\theta |\ln(1-\theta ))=0.942707\dots }}}$

donde es el polilogaritmo y es el valor absoluto de la raíz compleja (con parte imaginaria positiva) de la cúbica. ${\displaystyle {\rm {{Li}_{n}}}}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle \theta }$

Variedades relacionadas

La variedad hiperbólica cuspideada 3-variedad obtenida por la cirugía de Dehn (5, 1) en el enlace de Whitehead es la llamada variedad hermana del complemento del nudo en forma de ocho . El complemento del nudo en forma de ocho y su variedad hermana tienen el menor volumen de cualquier variedad hiperbólica cuspideada 3-variedad orientable. Por lo tanto, la variedad de Weeks se puede obtener por cirugía de Dehn hiperbólica en una de las dos variedades hiperbólicas cuspideadas 3-variedades orientables más pequeñas.

Véase también

• Colector Meyerhoff - segundo volumen pequeño

Referencias

1. (Ted Chinburg, Eduardo Friedman y Kerry N. Jones et al. 2001)

• Agol, Ian ; Storm, Peter A.; Thurston, William P. (2007), "Límites inferiores de volúmenes de variedades 3-hipérbólicas de Haken (con un apéndice de Nathan Dunfield)", Journal of the American Mathematical Society , 20 (4): 1053–1077, arXiv : math.DG/0506338 , Bibcode :2007JAMS...20.1053A, doi :10.1090/S0894-0347-07-00564-4, MR  2328715.
• Chinburg, Ted; Friedman, Eduardo; Jones, Kerry N.; Reid, Alan W. (2001), "La variedad 3 hiperbólica aritmética de volumen más pequeño", Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa. Clase de ciencia. Serie IV , 30 (1): 1–40, SEÑOR  1882023
• Gabai, David ; Meyerhoff, Robert; Milley, Peter (2009), "Variedades hiperbólicas tridimensionales con cúspide de volumen mínimo", Journal of the American Mathematical Society , 22 (4): 1157–1215, arXiv : 0705.4325 , Bibcode :2009JAMS...22.1157G, doi :10.1090/S0894-0347-09-00639-0, MR  2525782
• Matveev, Sergei V.; Fomenko, Aanatoly T. (1988), "Superficies isoenergéticas de sistemas hamiltonianos, enumeración de variedades tridimensionales en orden de crecimiento de su complejidad y cálculo de los volúmenes de variedades hiperbólicas cerradas", Akademiya Nauk SSSR i Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 43 (1): 5–22, Bibcode :1988RuMaS..43....3M, doi :10.1070/RM1988v043n01ABEH001554, MR  0937017
• Weeks, Jeffrey (1985), Estructuras hiperbólicas en 3-variedades , tesis doctoral, Universidad de Princeton