Una esfera de fotones [1] o círculo de fotones [2] es un área o región del espacio donde la gravedad es tan fuerte que los fotones se ven obligados a viajar en órbitas, lo que a veces también se denomina órbita del último fotón . [3] El radio de la esfera de fotones, que también es el límite inferior para cualquier órbita estable , es, para un agujero negro de Schwarzschild ,
donde G es la constante gravitacional , M es la masa del agujero negro , c es la velocidad de la luz en el vacío y r s es el radio de Schwarzschild (el radio del horizonte de sucesos ); consulte a continuación una derivación de este resultado.
Esta ecuación implica que las esferas de fotones sólo pueden existir en el espacio que rodea a un objeto extremadamente compacto (un agujero negro o posiblemente una estrella de neutrones "ultracompacta" [4] ).
La esfera de fotones se encuentra más lejos del centro de un agujero negro que el horizonte de sucesos. Dentro de una esfera de fotones, es posible imaginar un fotón que se emite desde la parte posterior de la cabeza, orbitando el agujero negro, para luego ser interceptado por los ojos de la persona, permitiéndole ver la parte posterior de la cabeza. Para los agujeros negros no giratorios, la esfera de fotones es una esfera de radio 3/2 r s . No existen órbitas estables de caída libre que existan dentro o que crucen la esfera de fotones. Cualquier órbita en caída libre que la cruce desde el exterior gira en espiral hacia el agujero negro. Cualquier órbita que lo atraviese desde el interior escapa al infinito o vuelve a caer y gira en espiral hacia el agujero negro. No es posible una órbita no acelerada con un semieje mayor menor que esta distancia, pero dentro de la esfera de fotones, una aceleración constante permitirá que una nave espacial o una sonda flote sobre el horizonte de sucesos.
Otra propiedad de la esfera de fotones es la inversión de la fuerza centrífuga (nota: no centrípeta ). [5] Fuera de la esfera de fotones, cuanto más rápido se orbita, mayor es la fuerza hacia afuera que se siente. La fuerza centrífuga cae a cero en la esfera de fotones, incluidas las órbitas sin caída libre a cualquier velocidad, es decir, un objeto pesa lo mismo sin importar a qué velocidad orbita y se vuelve negativo en su interior. Dentro de la esfera de fotones, una órbita más rápida conduce a un mayor peso o fuerza hacia adentro. Esto tiene serias ramificaciones para la dinámica de fluidos del flujo de fluido entrante.
Un agujero negro en rotación tiene dos esferas de fotones. Cuando un agujero negro gira, arrastra el espacio consigo. La esfera de fotones que está más cerca del agujero negro se mueve en la misma dirección que la rotación, mientras que la esfera de fotones más alejada se mueve en contra de él. Cuanto mayor es la velocidad angular de rotación de un agujero negro, mayor es la distancia entre las dos esferas de fotones. Dado que el agujero negro tiene un eje de rotación, esto sólo es cierto si nos acercamos al agujero negro en la dirección del ecuador. En una órbita polar , sólo hay una esfera de fotones. Esto se debe a que al acercarse en este ángulo no existe la posibilidad de viajar a favor o en contra de la rotación. En cambio, la rotación hará que la órbita precese . [6]
Dado que un agujero negro de Schwarzschild tiene simetría esférica, todos los ejes posibles para una órbita circular de un fotón son equivalentes y todas las órbitas circulares tienen el mismo radio.
Esta derivación implica el uso de la métrica de Schwarzschild , dada por
Para un fotón que viaja con un radio constante r (es decir, en la dirección de coordenadas φ ), . Dado que es un fotón (un "intervalo similar a la luz"). Siempre podemos rotar el sistema de coordenadas de manera que sea constante (por ejemplo, ).
Poniendo ds , dr y dθ a cero, tenemos
Reorganizar da
Para continuar, necesitamos la relación . Para encontrarlo utilizamos la ecuación geodésica radial.
Los coeficientes de conexión que no desaparecen son
dónde .
Tratamos geodésicas radiales de fotones con r constante y , por lo tanto
Sustituyendo todo esto en la ecuación geodésica radial (la ecuación geodésica con la coordenada radial como variable dependiente), obtenemos
Comparándolo con lo obtenido anteriormente tenemos
donde hemos insertado radianes (imagínese que la masa central, alrededor de la cual orbita el fotón, está ubicada en el centro de los ejes de coordenadas. Luego, a medida que el fotón viaja a lo largo de la línea de coordenadas -, para que la masa esté ubicada directamente en el centro de la órbita del fotón, debemos tener radianes).
Por lo tanto, reorganizar esta expresión final da
que es el resultado que nos propusimos demostrar.
A diferencia de un agujero negro de Schwarzschild, un agujero negro de Kerr (giratorio) no tiene simetría esférica, sino sólo un eje de simetría, lo que tiene profundas consecuencias para las órbitas de los fotones; véase, por ejemplo, Cramer [2] para detalles y simulaciones de órbitas de fotones. y círculos de fotones. Hay dos órbitas circulares de fotones en el plano ecuatorial (prograda y retrógrada), con diferentes radios de Boyer-Lindquist :
¿Dónde está el momento angular por unidad de masa del agujero negro? [7] Existen otras órbitas de radio constante, pero tienen trayectorias más complicadas que oscilan en latitud alrededor del ecuador. [7]