Variable aleatoria compleja

En teoría de probabilidad y estadística , las variables aleatorias complejas son una generalización de las variables aleatorias de valor real a números complejos , es decir, los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria compleja son números complejos. ^[1] Las variables aleatorias complejas siempre pueden considerarse como pares de variables aleatorias reales: sus partes real e imaginaria. Por lo tanto, la distribución de una variable aleatoria compleja puede interpretarse como la distribución conjunta de dos variables aleatorias reales.

Algunos conceptos de variables aleatorias reales tienen una generalización sencilla para las variables aleatorias complejas (por ejemplo, la definición de la media de una variable aleatoria compleja). Otros conceptos son exclusivos de las variables aleatorias complejas.

Las aplicaciones de variables aleatorias complejas se encuentran en el procesamiento de señales digitales , ^[2] la modulación de amplitud en cuadratura y la teoría de la información .

Definición

Una variable aleatoria compleja en el espacio de probabilidad es una función tal que tanto su parte real como su parte imaginaria son variables aleatorias reales en . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle Z\colon \Omega \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Re {(Z)}}$ ${\displaystyle \Im {(Z)}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$

Ejemplos

Ejemplo sencillo

Considere una variable aleatoria que puede tomar solo los tres valores complejos con probabilidades especificadas en la tabla. Este es un ejemplo simple de una variable aleatoria compleja. ${\displaystyle 1+i,1-i,2}$

La expectativa de esta variable aleatoria se puede calcular de forma sencilla: ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]={\frac {1}{4}}(1+i)+{\frac {1}{4}}(1-i)+{\frac {1}{2}}2={\frac {3}{2}}.}$

Distribución uniforme

Otro ejemplo de una variable aleatoria compleja es la distribución uniforme sobre el círculo unitario lleno, es decir, el conjunto . Esta variable aleatoria es un ejemplo de una variable aleatoria compleja para la que se define la función de densidad de probabilidad. La función de densidad se muestra como el disco amarillo y la base azul oscuro en la siguiente figura. ${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid |z|\leq 1\}}$

Distribución normal compleja

Las variables aleatorias gaussianas complejas se encuentran a menudo en las aplicaciones. Son una generalización directa de las variables aleatorias gaussianas reales. El siguiente gráfico muestra un ejemplo de la distribución de una variable de este tipo.

Función de distribución acumulativa

La generalización de la función de distribución acumulativa de variables aleatorias reales a complejas no es obvia porque las expresiones de la forma no tienen sentido. Sin embargo, las expresiones de la forma sí tienen sentido. Por lo tanto, definimos la distribución acumulativa de una variable aleatoria compleja a través de la distribución conjunta de sus partes reales e imaginarias: ${\displaystyle P(Z\leq 1+3i)}$ ${\displaystyle P(\Re {(Z)}\leq 1,\Im {(Z)}\leq 3)}$ ${\displaystyle F_{Z}:\mathbb {C} \to [0,1]}$

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria compleja se define como , es decir, el valor de la función de densidad en un punto se define como igual al valor de la densidad conjunta de las partes real e imaginaria de la variable aleatoria evaluada en el punto . ${\displaystyle f_{Z}(z)=f_{\Re {(Z)},\Im {(Z)}}(\Re {(z)},\Im {(z)})}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\Re {(z)},\Im {(z)})}$

Una definición equivalente la da donde y . ${\displaystyle f_{Z}(z)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}P(\Re {(Z)}\leq x,\Im {(Z)}\leq y)}$ ${\displaystyle x=\Re {(z)}}$ ${\displaystyle y=\Im {(z)}}$

Como en el caso real la función de densidad puede no existir.

Expectativa

La esperanza de una variable aleatoria compleja se define con base en la definición de la esperanza de una variable aleatoria real: ^{[3] : p. 112}

Nótese que la expectativa de una variable aleatoria compleja no existe si o no existe. ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}]}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\Im {(Z)}]}$

Si la variable aleatoria compleja tiene una función de densidad de probabilidad , entonces la expectativa viene dada por . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f_{Z}(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\iint _{\mathbb {C} }z\cdot f_{Z}(z)\,dx\,dy}$

Si la variable aleatoria compleja tiene una función de masa de probabilidad , entonces la expectativa viene dada por . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle p_{Z}(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\sum _{z\in \mathbb {Z} }z\cdot p_{Z}(z)}$

Propiedades

Siempre que exista la expectativa de una variable aleatoria compleja, tomando la expectativa y la conjugación compleja como conmutativa:

${\displaystyle {\overline {\operatorname {E} [Z]}}=\operatorname {E} [{\overline {Z}}].}$

El operador de valor esperado es lineal en el sentido de que ${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot ]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [aZ+bW]=a\operatorname {E} [Z]+b\operatorname {E} [W]}$

para cualquier coeficiente complejo incluso si y no son independientes . ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$

Varianza y pseudovarianza

La varianza se define en términos de cuadrados absolutos como: ^{[3] : 117}

Propiedades

La varianza es siempre un número real no negativo. Es igual a la suma de las varianzas de la parte real e imaginaria de la variable aleatoria compleja:

${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}].}$

La varianza de una combinación lineal de variables aleatorias complejas se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[\sum _{k=1}^{N}a_{k}Z_{k}\right]=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}a_{i}{\overline {a_{j}}}\operatorname {Cov} [Z_{i},Z_{j}].}$

Pseudovarianza

La pseudovarianza es un caso especial de la pseudocovarianza y se define en términos de cuadrados complejos ordinarios , dados por:

A diferencia de la varianza de , que siempre es real y positiva, la pseudovarianza de es en general compleja. ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$

Matriz de covarianza de partes reales e imaginarias

Para una variable aleatoria compleja general, el par tiene una matriz de covarianza de la forma: ${\displaystyle (\Re {(Z)},\Im {(Z)})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]&\operatorname {Cov} [\Im {(Z)},\Re {(Z)}]\\\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\end{bmatrix}}}$

La matriz es simétrica, por lo que ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]=\operatorname {Cov} [\Im {(Z)},\Re {(Z)}]}$

Sus elementos son iguales:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{ZZ}+\operatorname {J} _{ZZ})\\&\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} (\operatorname {K} _{ZZ}-\operatorname {J} _{ZZ})\\&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} (\operatorname {J} _{ZZ})\\\end{aligned}}}$

En cambio:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {K} _{ZZ}=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]+\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]\\&\operatorname {J} _{ZZ}=\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]-\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]+i2\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]\end{aligned}}}$

Covarianza y pseudocovarianza

La covarianza entre dos variables aleatorias complejas se define como ^{[3] : 119} ${\displaystyle Z,W}$

Observe la compleja conjugación del segundo factor en la definición.

A diferencia de las variables aleatorias reales, también definimos una pseudocovarianza (también llamada varianza complementaria ):

Las estadísticas de segundo orden están completamente caracterizadas por la covarianza y la pseudocovarianza.

Propiedades

La covarianza tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W]={\overline {\operatorname {Cov} [W,Z]}}}$(Simetría conjugada)
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [\alpha Z,W]=\alpha \operatorname {Cov} [Z,W]}$(Sesquilinealidad)
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,\alpha W]={\overline {\alpha }}\operatorname {Cov} [Z,W]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z_{1}+Z_{2},W]=\operatorname {Cov} [Z_{1},W]+\operatorname {Cov} [Z_{2},W]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,W_{1}+W_{2}]=\operatorname {Cov} [Z,W_{1}]+\operatorname {Cov} [Z,W_{2}]}$
• ${\displaystyle \operatorname {Cov} [Z,Z]={\operatorname {Var} [Z]}}$
• No correlación: dos variables aleatorias complejas y se denominan no correlacionadas si (véase también: no correlación (teoría de la probabilidad) ). ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{ZW}=\operatorname {J} _{ZW}=0}$
• Ortogonalidad: dos variables aleatorias complejas y se denominan ortogonales si . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [Z{\overline {W}}]=0}$

Simetría circular

La simetría circular de variables aleatorias complejas es un supuesto común en el campo de las comunicaciones inalámbricas. Un ejemplo típico de una variable aleatoria compleja simétrica circular es la variable aleatoria gaussiana compleja con media cero y matriz de pseudocovarianza cero.

Una variable aleatoria compleja es circularmente simétrica si, para cualquier determinista , la distribución de es igual a la distribución de . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \phi \in [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }Z}$ ${\displaystyle Z}$

Propiedades

Por definición, una variable aleatoria compleja circularmente simétrica tiene para cualquier . $${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {i} \phi }\operatorname {E} [Z]}$$ ${\displaystyle \phi }$

Por lo tanto, la expectativa de una variable aleatoria compleja simétrica circularmente solo puede ser cero o indefinida.

Además, para cualquier . $${\displaystyle \operatorname {E} [ZZ]=\operatorname {E} [e^{\mathrm {i} \phi }Ze^{\mathrm {i} \phi }Z]=e^{\mathrm {2} i\phi }\operatorname {E} [ZZ]}$$ ${\displaystyle \phi }$

Por lo tanto, la pseudovarianza de una variable aleatoria compleja simétrica circularmente sólo puede ser cero.

Si y tienen la misma distribución, la fase de debe estar distribuida uniformemente sobre y es independiente de la amplitud de . ^[4] ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \phi }Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle Z}$

Variables aleatorias complejas propias

El concepto de variables aleatorias propias es exclusivo de las variables aleatorias complejas y no tiene un concepto correspondiente con las variables aleatorias reales.

Una variable aleatoria compleja se denomina propia si se cumplen las tres condiciones siguientes: ${\displaystyle Z}$

• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {Var} [Z]<\infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z^{2}]=0}$

Esta definición es equivalente a las siguientes condiciones. Esto significa que una variable aleatoria compleja es propia si, y solo si:

• ${\displaystyle \operatorname {E} [Z]=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}^{2}]=\operatorname {E} [\Im {(Z)}^{2}]\neq \infty }$
• ${\displaystyle \operatorname {E} [\Re {(Z)}\Im {(Z)}]=0}$

Teorema  :  Toda variable aleatoria compleja circularmente simétrica con varianza finita es propia.

Para una variable aleatoria compleja adecuada, la matriz de covarianza del par tiene la siguiente forma simple: ${\displaystyle (\Re {(Z)},\Im {(Z)})}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]&0\\0&{\frac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\end{bmatrix}}}$.

Es decir:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {Var} [\Re {(Z)}]=\operatorname {Var} [\Im {(Z)}]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Var} [Z]\\&\operatorname {Cov} [\Re {(Z)},\Im {(Z)}]=0\\\end{aligned}}}$

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

La desigualdad de Cauchy-Schwarz para variables aleatorias complejas, que se puede derivar utilizando la desigualdad del triángulo y la desigualdad de Hölder , es

${\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[Z{\overline {W}}\right]\right|^{2}\leq \left|\operatorname {E} \left[\left|Z{\overline {W}}\right|\right]\right|^{2}\leq \operatorname {E} \left[|Z|^{2}\right]\operatorname {E} \left[|W|^{2}\right]}$.

Función característica

La función característica de una variable aleatoria compleja es una función definida por ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \varphi _{Z}(\omega )=\operatorname {E} \left[e^{i\Re {({\overline {\omega }}Z)}}\right]=\operatorname {E} \left[e^{i(\Re {(\omega )}\Re {(Z)}+\Im {(\omega )}\Im {(Z)})}\right].}$

Véase también

• Momento central
• Vector aleatorio complejo

Referencias

1. Eriksson, Jan; Ollila, Esa; Koivunen, Visa (2009). Estadísticas para variables aleatorias complejas revisadas . Conferencia internacional IEEE de 2009 sobre acústica, habla y procesamiento de señales. Taipei, Taiwán: Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos . págs. 3565–3568. doi :10.1109/ICASSP.2009.4960396.
2. Lapidoth, A. (2009). Una base para la comunicación digital . Cambridge University Press. ISBN 9780521193955.
3. Park, Kun Il (2018). Fundamentos de probabilidad y procesos estocásticos con aplicaciones a las comunicaciones . Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
4. Peter J. Schreier, Louis L. Scharf (2011). Procesamiento estadístico de señales de datos de valores complejos . Cambridge University Press. ISBN 9780511815911.