Sustitutos brutos (artículos indivisibles)

En economía , los sustitutos brutos (SBU) son una clase de funciones de utilidad sobre bienes indivisibles . Se dice que un agente tiene una valoración SBU si, siempre que los precios de algunos artículos aumentan y los precios de otros permanecen constantes, la demanda del agente por los artículos cuyo precio permanece constante aumenta débilmente.

A la derecha se muestra un ejemplo. La tabla muestra las valoraciones (en dólares) de Alice y Bob respecto de los cuatro posibles subconjuntos del conjunto de dos artículos: {manzana, pan}. La valoración de Alice es GS, pero la valoración de Bob no es GS. Para comprobarlo, supongamos que inicialmente tanto la manzana como el pan tienen un precio de 6 dólares. La cesta óptima de Bob es manzana+pan, ya que le da un valor neto de 3 dólares. Ahora, el precio del pan aumenta a 10 dólares. Ahora, la cesta óptima de Bob es la cesta vacía, ya que todas las demás cestas le dan un valor neto negativo. Por tanto, la demanda de Bob de manzana ha disminuido, aunque solo ha aumentado el precio del pan.

La condición GS fue introducida por Kelso y Crawford en 1982 ^[1] y fue ampliamente publicitada por Gul y Stacchetti ^[2] . Desde entonces ha encontrado muchas aplicaciones, principalmente en la teoría de subastas y la teoría del equilibrio competitivo .

Definiciones

La condición GS tiene muchas definiciones equivalentes.

Sustitutos Brutos (SBU)

La definición original de GS ^[1] se basa en un vector de precios y un conjunto de demanda .

• Un vector de precios es un vector que contiene el precio de cada artículo. ${\displaystyle p}$
• Dada una función de utilidad y un vector de precios , un conjunto se denomina demanda si maximiza la utilidad neta del agente: . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u(X)-p\cdot X}$
• El conjunto de demanda es el conjunto de todas las demandas. ${\displaystyle D(u,p)}$

La propiedad GS significa que cuando el precio de algunos artículos aumenta, la demanda de otros no disminuye. Formalmente, para dos vectores de precios cualesquiera y tales que , y cualquier , existe un tal que (Y contiene todos los artículos en X cuyo precio se mantuvo constante). ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q\geq p}$ ${\displaystyle X\in D(u,p)}$ ${\displaystyle Y\in D(u,q)}$ ${\displaystyle Y\supseteq \{x\in X|p_{x}=q_{x}\}}$

Mejora Única (SI)

La condición SI ^[2] dice que un conjunto no óptimo se puede mejorar añadiendo, quitando o sustituyendo un solo artículo. Formalmente, para cualquier vector de precios y paquete , existe un paquete tal que , y . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X\notin D(u,p)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u(Y)-p\cdot Y>u(X)-p\cdot X}$ ${\displaystyle |X\setminus Y|\leq 1}$ ${\displaystyle |Y\setminus X|\leq 1}$

Sin complementos (NC)

La condición NC ^[2] dice que cada subconjunto de un conjunto demandado tiene un sustituto. Formalmente: para cualquier vector de precios y conjuntos demandados , y para cada subconjunto , existe un subconjunto tal que: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,Y\in D(u,p)}$ ${\displaystyle X'\subseteq X}$ ${\displaystyle Y'\subseteq Y}$ ${\displaystyle X\setminus X'\cup Y'\in D(u,p)}$

Si la función de valoración es monótona, entonces GS implica SI y SI implica NC y NC implica GS, ^{[2] : 117–120} por lo que estas tres condiciones son equivalentes.

METRO♮Cóncava (MX)

La condición M ^{♮ [3]} proviene del análisis convexo (el símbolo es el símbolo "natural" similar a su uso en música ). Dice que para todos los conjuntos y para cada elemento , al menos uno de los siguientes debe ser verdadero: ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle x\in X}$

• ${\displaystyle u(X)+u(Y)\leq u(X\setminus \{x\})+u(Y\cup \{x\})}$, o
• existe un elemento tal que . ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle u(X)+u(Y)\leq u(X\setminus \{x\}\cup \{y\})+u(Y\setminus \{y\}\cup \{x\})}$

La propiedad de concavidad M ^♮ también se denomina propiedad de intercambio M ^♮ . ^[4] Tiene la siguiente interpretación. Supongamos que Alice y Bob tienen ambos una función de utilidad , y están dotados de paquetes de y respectivamente. Por cada artículo que Alice le entrega a Bob, Bob puede entregar como máximo un artículo a Alice, de modo que su utilidad total después del intercambio se conserva o aumenta. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

SI implica MX y MX implica SI, ^[3] por lo que son equivalentes.

Fuerte Sin Complementarios (SNC)

La condición SNC ^[2] dice que, para todos los conjuntos y y para cada subconjunto , existe un subconjunto tal que: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X'\subseteq X}$ ${\displaystyle Y'\subseteq Y}$

${\displaystyle u(X)+u(Y)\leq u(X\setminus X'\cup Y')+u(Y\setminus Y'\cup X')}$

La propiedad SNC también se llama propiedad M ^♮ -múltiple-intercambio . ^[4] Tiene la siguiente interpretación. ^[2] Supongamos que Alice y Bob tienen ambos función de utilidad , y están dotados de paquetes y respectivamente. Para cada subconjunto que Alice le entrega a Bob, hay un subconjunto equivalente que Bob puede manejar a Alice, de modo que su utilidad total después del intercambio se conserva o aumenta. Nótese que es muy similar a la condición MC - la única diferencia es que en MC, Alice le entrega a Bob exactamente un artículo y Bob le devuelve a Alice como máximo un artículo. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle Y'}$

Nota: para comprobar si u tiene SNC, basta con considerar los casos en los que . Y basta con comprobar los subconjuntos no triviales, es decir, los casos en los que y . Y para estos casos, sólo necesitamos buscar entre los paquetes . ${\displaystyle X'\subseteq X\setminus Y}$ ${\displaystyle X'\neq \emptyset }$ ${\displaystyle X'\neq X\setminus Y}$ ${\displaystyle Y'\subseteq Y\setminus X}$

Kazuo Murota demostró ^[4] que MX implica SNC.

Es obvio que SNC implica NC. ^[2] Demostración: Fijemos una función de utilidad SNC y un vector de precios . Sean dos cestas en el conjunto de demanda . Esto significa que tienen la misma utilidad neta, p. ej., , y todas las demás cestas tienen una utilidad neta de como máximo . Por la condición SNC, para cada , existe tal que . Pero y son ambas como máximo . Por lo tanto, ambas deben ser exactamente . Por lo tanto, ambas también están en . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle D(u,p)}$ ${\displaystyle U_{p}:=u_{p}(A)=u_{p}(B)}$ ${\displaystyle U_{p}}$ ${\displaystyle A'\subset A}$ ${\displaystyle B'\subseteq B}$ ${\displaystyle u_{p}(A\setminus A'\cup B)+u_{p}(B\setminus B'\cup A)\geq u_{p}(A)+u_{p}(B)=2\cdot U_{p}}$ ${\displaystyle u_{p}(A\setminus A'\cup B)}$ ${\displaystyle u_{p}(B\setminus B'\cup A)}$ ${\displaystyle U_{p}}$ ${\displaystyle U_{p}}$ ${\displaystyle D(u,p)}$

Ya dijimos que NC implica GS, lo que implica SI, y que ^[3] SI implica MX. Esto cierra el círculo y muestra que todas estas propiedades son equivalentes (también hay una prueba directa ^[4] de que SNC implica MX).

Flujo de demanda descendente (DDF)

La condición DDF ^[5] está relacionada con los cambios en el vector de precios. Si ordenamos los artículos en orden ascendente de aumento de precio, entonces la demanda de un agente GS fluye solo hacia abajo: desde los artículos cuyo precio aumentó más a los artículos cuyo precio aumentó menos, o desde los artículos cuyo precio aumentó a los artículos cuyo precio disminuyó, o desde los artículos cuyo precio disminuyó menos a los artículos cuyo precio disminuyó más.

Formalmente, sean dos vectores de precios y sea el vector de aumento de precios. Si un artículo se demanda bajo y no se demanda bajo , entonces hay otro artículo con que no se demanda bajo y se demanda bajo . ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle \Delta :=q-p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Delta _{y}<\Delta _{x}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

Es fácil ver que DDF implica GS (GS es un caso especial de DDF en el que solo tiene valores cero o positivos). ^[5] demuestra que MX implica DDF, por lo que todas estas condiciones son equivalentes. ${\displaystyle \Delta }$

Preservación

La condición GS se mantiene ante cambios de precios. Es decir, una función de utilidad tiene GS si, y solo si, para cada vector de precios , la función de utilidad neta también tiene GS. Esto es más fácil de ver a través de las condiciones MC o SNC, ya que es evidente que estas condiciones son invariantes al precio. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u-p}$

Propiedades

Submodularidad

Cada valoración GS es una función de conjunto submodular . ^[2]

La inversa no es necesariamente cierta. ^[6] Esto se muestra en el ejemplo de la derecha. La utilidad es submodular ya que satisface la propiedad de utilidad marginal decreciente: la utilidad marginal de un elemento es 40-66 cuando se agrega a un conjunto vacío, 9-40 cuando se agrega a un solo elemento y 0-5 cuando se agrega a un par de elementos. Pero viola las condiciones equivalentes de la familia GS:

• MX es violado por los conjuntos {x,y} y {z}. Supongamos que Alice tiene {x,y} y Bob tiene {z}, por lo que su utilidad común es 146. Alice le da x a Bob. Entonces, ya sea que Bob devuelva z o no devuelva nada, su utilidad común cae a 115.
• Se viola la NC con los precios y , ya que hay dos cestas demandadas: {x,y} y {z} (ambas tienen una utilidad neta de 60). Pero, si y se toma del primer conjunto, no hay nada del segundo conjunto que pueda sustituirla ({x} tiene una utilidad neta de 30 y {x,z} tiene una utilidad neta de 59 - ninguna de ellas es una demanda). ${\displaystyle p_{x}=p_{y}=10}$ ${\displaystyle p_{z}=6}$
• La regla general se viola con los precios , ya que el paquete demandado es entonces {x,y}, pero cuando aumenta a, por ejemplo, 200 (de modo que x ya no se demanda), el nuevo paquete demandado es {z}. El aumento en disminuyó la demanda del artículo y. ${\displaystyle p_{x}=p_{y}=p_{z}=10}$ ${\displaystyle p_{x}}$ ${\displaystyle p_{x}}$
• La SI se viola con los precios , ya que el paquete {z} no es óptimo pero la única forma de mejorarlo es cambiarlo a {x,y}, lo que requiere agregar dos artículos. ${\displaystyle p_{x}=p_{y}=p_{z}=10}$

La submodularidad implica GS en el caso especial en el que hay un único tipo de elemento, de modo que el valor de un conjunto depende únicamente de la cantidad de elementos que lo componen. Esto es más fácil de ver utilizando la caracterización SNC, que en este caso se traduce a:

Para todos los números enteros y para cada , existe un número entero tal que: ${\displaystyle k_{x},k_{y}}$ ${\displaystyle k_{x}'\leq k_{x}}$ ${\displaystyle k_{y}'\leq k_{y}}$

${\displaystyle u(k_{x})+u(k_{y})\leq u(k_{x}-k_{x}'+k_{y}')+u(k_{y}-k_{y}'+k_{x}')}$

En efecto, si entonces podemos tomar lo que hace que los dos lados sean idénticos; si podemos tomar lo que hace que la desigualdad: ${\displaystyle k_{x}'\leq k_{y}}$ ${\displaystyle k_{y}'=k_{x}'}$ ${\displaystyle k_{x}'>k_{y}}$ ${\displaystyle k_{y}'=k_{y}}$

${\displaystyle u(k_{x})+u(k_{y})\leq u(k_{y}+k_{x}-k_{x}')+u(k_{x}')}$

Lo cual es equivalente a:

${\displaystyle u(k_{x}'+[k_{x}-k_{x}'])-u(k_{x}')\leq u(k_{y}+[k_{x}-k_{x}'])-u(k_{y})}$

Esto se deduce de la submodularidad porque . ${\displaystyle k_{x}'>k_{y}}$

Enlaces externos

• Tutorial sobre sustitutos brutos en la conferencia EC 2018: Resumen, Parte I (Renato Paes-Leme), Parte II (Inbal Talgam-Cohen).
• Sustituibilidad bruta: un estudio algorítmico . ^[7]

Referencias

1. Kelso, AS; Crawford, VP (1982). "Emparejamiento laboral, formación de coaliciones y sustitutos brutos". Econometrica . 50 (6): 1483. doi :10.2307/1913392. JSTOR  1913392.
2. Gul, F.; Stacchetti, E. (1999). "Equilibrio walrasiano con sustitutos brutos". Journal of Economic Theory . 87 : 95–124. doi :10.1006/jeth.1999.2531.
3. Fujishige, Satoru; Yang, Zaifu (2003). "Una nota sobre la condición de sustitutos brutos de Kelso y Crawford". Matemáticas de la investigación de operaciones . 28 (3): 463–469. doi :10.1287/moor.28.3.463.16393.
4. Murota, Kazuo (2018). "Propiedad de intercambio múltiple para funciones M ^♮ -cóncavas y matroides valuadas". Matemáticas de la investigación de operaciones . 43 (3): 781–788. arXiv : 1608.07021 . Código Bibliográfico :2016arXiv160807021M. doi :10.1287/moor.2017.0882.
5. Segal-Halevi, Erel; Hassidim, Avinatan; Aumann, Yonatan (2016). "Flujo de demanda de agentes con valoraciones de sustitutos brutos". Operations Research Letters . 44 (6): 757–760. arXiv : 1607.01989 . doi :10.1016/j.orl.2016.09.012. S2CID  14017704.
6. Ben-Zwi, Oren; Lavi, Ron; Newman, Ilán (2013). "Subastas ascendentes y equilibrio walrasiano". arXiv : 1301.1153 [cs.GT].
7. Paes Leme, Renato (1 de noviembre de 2017). "Sustituibilidad bruta: una encuesta algorítmica". Juegos y comportamiento económico . 106 : 294–316. doi :10.1016/j.geb.2017.10.016. ISSN  0899-8256.