En ciencia de materiales , las aproximaciones del medio efectivo ( EMA ) o la teoría del medio efectivo ( EMT ) pertenecen al modelado analítico o teórico que describe las propiedades macroscópicas de los materiales compuestos . Los EMA o EMT se desarrollan a partir del promedio de los múltiples valores de los componentes que forman directamente el material compuesto. A nivel de constituyentes, los valores de los materiales varían y son poco homogéneos . El cálculo preciso de los numerosos valores constituyentes es casi imposible. Sin embargo, se han desarrollado teorías que pueden producir aproximaciones aceptables que a su vez describen parámetros útiles, incluida la permitividad y permeabilidad efectivas de los materiales en su conjunto. En este sentido, las aproximaciones del medio efectivo son descripciones de un medio (material compuesto) basadas en las propiedades y las fracciones relativas de sus componentes y se derivan de cálculos [1] [2] y de la teoría del medio efectivo . [3] Hay dos fórmulas ampliamente utilizadas. [4]
La permitividad y la permeabilidad efectivas son características dieléctricas y magnéticas promediadas de un medio microhomogéneo. Ambos se obtuvieron en una aproximación cuasiestática cuando el campo eléctrico dentro de una partícula de mezcla puede considerarse homogéneo. Por tanto, estas fórmulas no pueden describir el efecto del tamaño de las partículas. Se realizaron muchos intentos para mejorar estas fórmulas.
Hay muchas aproximaciones de medios efectivos diferentes, [5] cada una de las cuales es más o menos precisa en distintas condiciones. Sin embargo, todos suponen que el sistema macroscópico es homogéneo y, como es típico en todas las teorías de campo medio, no logran predecir las propiedades de un medio multifásico cercano al umbral de percolación debido a la ausencia de correlaciones de largo alcance o fluctuaciones críticas en la teoría. .
Las propiedades que se consideran suelen ser la conductividad o la constante dieléctrica [6] del medio. Estos parámetros son intercambiables en las fórmulas de una amplia gama de modelos debido a la amplia aplicabilidad de la ecuación de Laplace. Los problemas que quedan fuera de esta clase se encuentran principalmente en el campo de la elasticidad y la hidrodinámica, debido al carácter tensorial de orden superior de las constantes efectivas del medio.
Los EMA pueden ser modelos discretos, como los aplicados a redes de resistencias, o teorías del continuo aplicadas a la elasticidad o la viscosidad. Sin embargo, la mayoría de las teorías actuales tienen dificultades para describir los sistemas de percolación. De hecho, entre las numerosas aproximaciones medias efectivas, sólo la teoría simétrica de Bruggeman es capaz de predecir un umbral. Este rasgo característico de esta última teoría la sitúa en la misma categoría que otras teorías de campo medio de fenómenos críticos . [ cita necesaria ]
Para una mezcla de dos materiales con permitividades y con fracciones de volumen correspondientes y , DAG Bruggeman propuso una fórmula de la siguiente forma: [7]
Aquí, el signo positivo antes de la raíz cuadrada debe modificarse a un signo negativo en algunos casos para obtener la parte imaginaria correcta de la permitividad compleja efectiva que está relacionada con la atenuación de las ondas electromagnéticas. La fórmula es simétrica con respecto al intercambio de los roles 'd' y 'm'. Esta fórmula se basa en la igualdad.
donde es el salto del flujo de desplazamiento eléctrico en toda la superficie de integración, es la componente del campo eléctrico microscópico normal a la superficie de integración, es la permitividad compleja relativa local que toma el valor dentro de la partícula de metal seleccionada, el valor dentro de la partícula dieléctrica seleccionada y el valor fuera de la partícula recogida, es el componente normal del campo eléctrico macroscópico. La fórmula (4) surge de la igualdad de Maxwell . Por tanto, en el enfoque de Bruggeman sólo se considera una partícula seleccionada. La interacción con todas las demás partículas se tiene en cuenta sólo en una aproximación de campo medio descrita por . La fórmula (3) proporciona una curva resonante razonable para las excitaciones de plasmones en nanopartículas metálicas si su tamaño es de 10 nm o menos. Sin embargo, no puede describir la dependencia del tamaño de la frecuencia de resonancia de las excitaciones de plasmones que se observan en los experimentos [8].
Sin pérdida de generalidad, consideraremos el estudio de la conductividad efectiva (que puede ser CC o CA) para un sistema formado por inclusiones esféricas multicomponentes con diferentes conductividades arbitrarias. Entonces la fórmula de Bruggeman toma la forma:
En un sistema de dimensión espacial euclidiana que tiene un número arbitrario de componentes, [9] la suma se realiza entre todos los constituyentes. y son respectivamente la fracción y la conductividad de cada componente, y es la conductividad efectiva del medio. (La suma sobre la 's es la unidad).
Esta es una generalización de la ecuación. (1) a un sistema bifásico con inclusiones elipsoidales de conductividad en una matriz de conductividad . [10] La fracción de inclusiones es y el sistema es dimensional. Para inclusiones orientadas aleatoriamente,
donde los 's denotan el doblete/triplete apropiado de factores de despolarización que se rige por las relaciones entre los ejes de la elipse/elipsoide. Por ejemplo: en el caso de un círculo ( , ) y en el caso de una esfera ( , , ). (La suma sobre 's es la unidad).
El caso más general al que se ha aplicado el enfoque de Bruggeman involucra inclusiones elipsoidales bianisotrópicas. [11]
La figura ilustra un medio de dos componentes. [9] Considere el volumen de conductividad sombreado , tómelo como una esfera de volumen y suponga que está incrustado en un medio uniforme con una conductividad efectiva . Si el campo eléctrico lejos de la inclusión es entonces consideraciones elementales conducen a un momento dipolar asociado con el volumen.
Esta polarización produce una desviación de . Para que la desviación promedio desaparezca, la polarización total sumada entre los dos tipos de inclusión debe desaparecer. De este modo
donde y son respectivamente la fracción de volumen del material 1 y 2. Esto se puede extender fácilmente a un sistema de dimensiones que tiene un número arbitrario de componentes. Todos los casos se pueden combinar para producir la ecuación. (1).
Ec. (1) también se puede obtener exigiendo que la desviación de la corriente desaparezca. [12] [13] Se ha derivado aquí del supuesto de que las inclusiones son esféricas y se pueden modificar para formas con otros factores de despolarización; conduciendo a la ecuación. (2).
También está disponible una derivación más general aplicable a materiales bianisotrópicos. [11]
La principal aproximación es que todos los dominios están ubicados en un campo medio equivalente. Desafortunadamente, no es el caso cerca del umbral de percolación donde el sistema está gobernado por el mayor grupo de conductores, que es un fractal, y correlaciones de largo alcance que están totalmente ausentes en la fórmula simple de Bruggeman. En general, los valores umbral no se predicen correctamente. Es del 33% en la EMA, en tres dimensiones, lejos del 16% esperado por la teoría de la percolación y observado en experimentos. Sin embargo, en dos dimensiones, la EMA da un umbral del 50% y se ha demostrado que modela la percolación relativamente bien. [14] [15] [16]
En la aproximación de Maxwell Garnett , [17] el medio efectivo consta de un medio matricial con inclusiones con . Maxwell Garnett era hijo del físico William Garnett y recibió su nombre del amigo de Garnett, James Clerk Maxwell . Propuso su fórmula para explicar las imágenes en color que se observan en gafas dopadas con nanopartículas metálicas. Su fórmula tiene una forma
donde es la permitividad compleja relativa efectiva de la mezcla, es la permitividad compleja relativa del medio de fondo que contiene pequeñas inclusiones esféricas de permitividad relativa con una fracción de volumen de . Esta fórmula se basa en la igualdad.
donde es la permitividad absoluta del espacio libre y es el momento dipolar eléctrico de una única inclusión inducida por el campo eléctrico externo E. Sin embargo, esta igualdad es buena sólo para medios homogéneos y . Además, la fórmula (1) ignora la interacción entre inclusiones individuales. Debido a estas circunstancias, la fórmula (1) proporciona una curva de resonancia demasiado estrecha y demasiado alta para las excitaciones de plasmones en nanopartículas metálicas de la mezcla. [18]
La ecuación de Maxwell Garnett dice: [19]
donde es la constante dieléctrica efectiva del medio, de las inclusiones y de la matriz; es la fracción de volumen de las inclusiones.
La ecuación de Maxwell Garnett se resuelve mediante: [20] [21]
siempre y cuando el denominador no desaparezca. Una calculadora MATLAB simple que usa esta fórmula es la siguiente.
% Esta sencilla calculadora de MATLAB calcula la constante dieléctrica efectiva % de una mezcla de un material de inclusión en un medio base % según la teoría de Maxwell Garnett % ENTRADAS: % eps_base: constante dieléctrica del material base; % eps_incl: constante dieléctrica del material de inclusión; % vol_incl: porción de volumen del material de inclusión; % SALIDA: % eps_mean: constante dieléctrica efectiva de la mezcla.función eps_mean = MaxwellGarnettFormula ( eps_base, eps_incl, vol_incl ) número_pequeño_corte = 1e-6 ; si vol_incl < 0 || vol_incl > 1 disp ( 'ADVERTENCIA: ¡la porción de volumen del material de inclusión está fuera de rango!' ); factor_up final = 2 * ( 1 - vol_incl ) * eps_base + ( 1 + 2 * vol_incl ) * eps_incl ; factor_down = ( 2 + vol_incl ) * eps_base + ( 1 - vol_incl ) * eps_incl ; if abs ( factor_down ) < small_number_cutoff disp ( 'ADVERTENCIA: ¡el medio efectivo es singular!' ); media_eps = 0 ; de lo contrario eps_mean = eps_base * factor_up / factor_down ; fin fin
Para derivar la ecuación de Maxwell Garnett comenzamos con una serie de partículas polarizables. Utilizando el concepto de campo local de Lorentz, obtenemos la relación Clausius-Mossotti :
En términos generales, se espera que la EMA de Maxwell Garnett sea válida en fracciones de volumen bajas , ya que se supone que los dominios están separados espacialmente y se desprecia la interacción electrostática entre las inclusiones elegidas y todas las demás inclusiones vecinas. [22] La fórmula de Maxwell Garnett, a diferencia de la fórmula de Bruggeman, deja de ser correcta cuando las inclusiones se vuelven resonantes. En el caso de la resonancia de plasmón, la fórmula de Maxwell Garnett es correcta sólo en la fracción de volumen de las inclusiones . [23] Se ha estudiado la aplicabilidad de la aproximación del medio efectivo para multicapas dieléctricas [24] y multicapas metal-dieléctricas [25] , lo que demuestra que hay ciertos casos en los que la aproximación del medio efectivo no se cumple y es necesario tener cuidado en la aplicación de la teoría.
La ecuación de Maxwell Garnett describe las propiedades ópticas de los nanocompuestos que consisten en una colección de nanopartículas perfectamente esféricas. Todas estas nanopartículas deben tener el mismo tamaño. Sin embargo, debido al efecto de confinamiento, las propiedades ópticas pueden verse influenciadas por la distribución del tamaño de las nanopartículas. Como lo muestran Battie et al., [26] la ecuación de Maxwell Garnett se puede generalizar para tener en cuenta esta distribución.
y son el radio de las nanopartículas y la distribución de tamaño, respectivamente. y son el radio medio y la fracción de volumen de las nanopartículas, respectivamente. es el primer coeficiente de Mie eléctrico. Esta ecuación revela que la ecuación clásica de Maxwell Garnett da una estimación falsa de la fracción de volumen de las nanopartículas cuando no se puede despreciar la distribución de tamaños.
La ecuación de Maxwell Garnett sólo describe las propiedades ópticas de un conjunto de nanopartículas perfectamente esféricas. Sin embargo, las propiedades ópticas de los nanocompuestos son sensibles a la distribución de la forma de las nanopartículas. Para superar este límite, Y. Battie et al. [27] han desarrollado la teoría del medio efectivo distribuido de forma (SDEMT). Esta teoría del medio efectivo permite calcular la función dieléctrica efectiva de un nanocompuesto que consiste en un conjunto de nanopartículas elipsoidales distribuidas en forma.
con
Los factores de despolarización ( ) sólo dependen de la forma de las nanopartículas. es la distribución de los factores de despolarización.f es la fracción de volumen de las nanopartículas.
La teoría SDEMT se utilizó para extraer la distribución de formas de nanopartículas a partir de espectros de absorción [28] o elipsométricos. [29] [30]
Se propuso una nueva fórmula que describe el efecto del tamaño. [18] Esta fórmula tiene una forma
La fórmula para la permeabilidad efectiva de mezclas tiene una forma [18]
Aquí , la permeabilidad compleja relativa efectiva de la mezcla es la permeabilidad compleja relativa del medio de fondo que contiene pequeñas inclusiones esféricas de permeabilidad relativa con una fracción de volumen de . Esta fórmula se derivó en aproximación dipolar. Aquí se despreciaron el modo octupolo magnético y todos los demás modos de oscilación magnética de órdenes impares. Cuando y esta fórmula tiene una forma simple [18]
Para una red que consta de una alta densidad de resistencias aleatorias, una solución exacta para cada elemento individual puede resultar poco práctica o imposible. En tal caso, una red de resistencias aleatorias puede considerarse como un gráfico bidimensional y la resistencia efectiva puede modelarse en términos de medidas gráficas y propiedades geométricas de las redes. [31] Suponiendo que la longitud del borde es mucho menor que el espaciado de los electrodos y que los bordes están distribuidos uniformemente, se puede considerar que el potencial cae uniformemente de un electrodo a otro. La resistencia laminar de dicha red aleatoria ( ) se puede escribir en términos de densidad de borde (alambre) ( ), resistividad ( ), ancho ( ) y espesor ( ) de los bordes (alambres) como:
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