Clase de universalidad

Colección de modelos con el mismo límite de flujo del grupo de renormalización

En mecánica estadística , una clase de universalidad es una colección de modelos matemáticos que comparten un único límite invariante de escala bajo el proceso de flujo de grupo de renormalización . Si bien los modelos dentro de una clase pueden diferir drásticamente en escalas finitas, su comportamiento se volverá cada vez más similar a medida que se acerque a la escala límite. En particular, los fenómenos asintóticos como los exponentes críticos serán los mismos para todos los modelos de la clase.

Algunas clases de universalidad bien estudiadas son las que contienen el modelo de Ising o la teoría de percolación en sus respectivos puntos de transición de fase ; ambas son familias de clases, una para cada dimensión de red. Normalmente, una familia de clases de universalidad tendrá una dimensión crítica inferior y superior : por debajo de la dimensión crítica inferior, la clase de universalidad se vuelve degenerada (esta dimensión es 2d para el modelo de Ising o para la percolación dirigida, pero 1d para la percolación no dirigida), y por encima de la dimensión crítica superior los exponentes críticos se estabilizan y pueden calcularse mediante un análogo de la teoría del campo medio (esta dimensión es 4d para Ising o para la percolación dirigida, y 6d para la percolación no dirigida).

Lista de exponentes críticos

Los exponentes críticos se definen en términos de la variación de ciertas propiedades físicas del sistema cerca de su punto de transición de fase. Estas propiedades físicas incluirán su temperatura reducida , su parámetro de orden que mide qué parte del sistema se encuentra en la fase "ordenada", el calor específico , etc. ${\displaystyle \tau }$

• El exponente es el exponente que relaciona el calor específico C con la temperatura reducida: tenemos . El calor específico normalmente será singular en el punto crítico, pero el signo menos en la definición de permite que siga siendo positivo. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle C=\tau ^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$
• El exponente relaciona el parámetro de orden con la temperatura. A diferencia de la mayoría de los exponentes críticos, se supone que es positivo, ya que el parámetro de orden normalmente será cero en el punto crítico. Por lo tanto, tenemos . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi =|\tau |^{\beta }}$
• El exponente relaciona la temperatura con la respuesta del sistema a una fuerza impulsora externa, o campo fuente. Tenemos , con J como fuerza impulsora. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle d\Psi /dJ=\tau ^{-\gamma }}$
• El exponente relaciona el parámetro de orden con el campo fuente a la temperatura crítica, donde esta relación se vuelve no lineal. Tenemos (por lo tanto ), con los mismos significados que antes. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle J=\Psi ^{\delta }}$ ${\displaystyle \Psi =J^{1/\delta }}$
• El exponente relaciona el tamaño de las correlaciones (es decir, parches de la fase ordenada) con la temperatura; lejos del punto crítico, estos se caracterizan por una longitud de correlación . Tenemos . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi =\tau ^{-\nu }}$
• El exponente mide el tamaño de las correlaciones a la temperatura crítica. Se define de modo que la función de correlación se escala como . ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle r^{-d+2-\eta }}$
• El exponente , utilizado en la teoría de la percolación , mide el tamaño de los grupos más grandes (aproximadamente, los bloques ordenados más grandes) a "temperaturas" (probabilidades de conexión) por debajo del punto crítico. Por lo tanto , ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle s_{\max }\sim (p_{c}-p)^{-1/\sigma }}$
• El exponente , también de la teoría de la percolación , mide el número de grupos de tamaño s lejos de (o el número de grupos en criticidad): , con el factor eliminado en la probabilidad crítica. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle s_{\max }}$ ${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau }f(s/s_{\max })}$ ${\displaystyle f}$

Para las simetrías, el grupo indicado da la simetría del parámetro de orden. El grupo es el grupo diedro , el grupo de simetría del n -gono, es el grupo simétrico de n elementos , es el grupo octaédrico y es el grupo ortogonal en n dimensiones. 1 es el grupo trivial . ${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {Oct} }$ ${\displaystyle O(n)}$

Referencias

1. Fajardo, Juan AB (2008). Universalidad en la criticidad autoorganizada (PDF) . Granada.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Fayfar, Sean; Bretaña, Alex; Montfrooij, Wouter (15 de enero de 2021). "Percolación protegida: una nueva clase de universalidad perteneciente a sistemas críticos cuánticos fuertemente dopados". Journal of Physics Communications . 5 (1): 015008. arXiv : 2008.08258 . Bibcode :2021JPhCo...5a5008F. doi : 10.1088/2399-6528/abd8e9 . ISSN  2399-6528.
3. Luis, Edwin; de Assis, Thiago; Ferreira, Silvio; Andrade, Roberto (2019). "Exponente de rugosidad local en la clase de universalidad de la epitaxia de haz molecular no lineal en una dimensión". Physical Review E . 99 (2): 022801. arXiv : 1812.03114 . Bibcode :2019PhRvE..99b2801L. doi :10.1103/PhysRevE.99.022801. PMID  30934348. S2CID  91187266.

Enlaces externos

• Clases de universalidad de Sklogwiki
• Zinn-Justin, Jean (2002). Teoría cuántica de campos y fenómenos críticos , Oxford, Clarendon Press (2002), ISBN 0-19-850923-5 
• Ódor, Géza (2004). "Clases de universalidad en sistemas reticulares de no equilibrio". Reseñas de Física Moderna . 76 (3): 663–724. arXiv : cond-mat/0205644 . Bibcode :2004RvMP...76..663O. doi :10.1103/RevModPhys.76.663. S2CID  96472311.
• Creswick, Richard J.; Kim, Seung-Yeon (1997). "Exponentes críticos del modelo de Potts de cuatro estados". Journal of Physics A: Mathematical and General . 30 (24): 8785–8786. arXiv : cond-mat/9701018 . doi :10.1088/0305-4470/30/24/036. S2CID  16687747.