Función univalente

Concepto matemático

En matemáticas , en la rama del análisis complejo , una función holomorfa en un subconjunto abierto del plano complejo se denomina univalente si es inyectiva . ^{[1] [2]}

Ejemplos

La función es univalente en el disco unitario abierto, como implica que . Como el segundo factor no es cero en el disco unitario abierto, también lo es inyectiva. ${\displaystyle f\colon z\mapsto 2z+z^{2}}$ ${\displaystyle f(z)=f(w)}$ ${\displaystyle f(z)-f(w)=(z-w)(z+w+2)=0}$ ${\displaystyle z=w}$ ${\displaystyle f}$

Propiedades básicas

Se puede demostrar que si y son dos conjuntos abiertos conexos en el plano complejo, y ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle f:G\to \Omega }$

es una función univalente tal que (es decir, es sobreyectiva ), entonces la derivada de nunca es cero, es invertible y su inversa también es holomorfa. Además, se tiene por la regla de la cadena ${\displaystyle f(G)=\Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle (f^{-1})'(f(z))={\frac {1}{f'(z)}}}$

para todos en ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle G.}$

Comparación con funciones reales

Para las funciones analíticas reales , a diferencia de las funciones analíticas complejas (es decir, holomorfas), estas afirmaciones no se cumplen. Por ejemplo, considere la función

${\displaystyle f:(-1,1)\to (-1,1)\,}$

dada por . Esta función es claramente inyectiva, pero su derivada es 0 en , y su inversa no es analítica, ni siquiera diferenciable, en todo el intervalo . En consecuencia, si ampliamos el dominio a un subconjunto abierto del plano complejo, debe dejar de ser inyectiva; y este es el caso, ya que (por ejemplo) (donde es una raíz cúbica primitiva de la unidad y es un número real positivo menor que el radio de como un entorno de ). ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle (-1,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f(\varepsilon \omega )=f(\varepsilon )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0}$

Véase también

• Aplicación biholomórfica  : función holomorfa biyectiva con una inversa holomorfaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Teorema de De Branges  : enunciado en análisis complejo; anteriormente conjetura de Bieberbach
• Teorema del cuarto de Koebe  – Declaración en análisis complejo
• Teorema de mapeo de Riemann  – Teorema matemático
• Criterio de Nevanlinna  – Caracterización de funciones holomorfas univalentes de tipo estelar

Nota

1. (Conway 1995, p. 32, capítulo 14: Equivalencia conforme para regiones simplemente conexas, Definición 1.12: "Una función en un conjunto abierto es univalente si es analítica y biunívoca".)
2. (Nehari 1975)

Referencias

• Conway, John B. (1995). "Equivalencia conforme para regiones simplemente conexas". Funciones de una variable compleja II . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 159. doi :10.1007/978-1-4612-0817-4. ISBN. 978-1-4612-6911-3.
• "Funciones univalentes". Fuentes en el desarrollo de las matemáticas . 2011. pp. 907–928. doi :10.1017/CBO9780511844195.041. ISBN 9780521114707.
• Düren, PL (1983). Funciones Univalentes . Springer Nueva York, Nueva York. pag. XIV, 384. ISBN 978-1-4419-2816-0.
• Gong, Sheng (1998). Aplicaciones convexas y estelares en varias variables complejas . doi :10.1007/978-94-011-5206-8. ISBN: 978-94-011-5206-8 . 978-94-010-6191-9.
• Jarnicki, Marek; Pflug, Peter (2006). "Una observación sobre la holomorfía separada". Studia Mathematica . 174 (3): 309–317. arXiv : math/0507305 . doi : 10.4064/SM174-3-5 . S2CID  15660985.
• Nehari, Zeev (1975). Mapeo conforme. Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 146.ISBN​ 0-486-61137-X.OCLC 1504503  .

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