Distribución uniforme discreta

Distribución de probabilidad en resultados igualmente probables

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución uniforme discreta es una distribución de probabilidad simétrica en la que cada uno de un número entero finito n de valores de resultado tiene la misma probabilidad de ser observado. Por lo tanto, cada uno de los n valores de resultado tiene la misma probabilidad 1/ n . Intuitivamente, una distribución uniforme discreta es "un número finito conocido de resultados que tienen la misma probabilidad de ocurrir".

Un ejemplo sencillo de distribución uniforme discreta es el lanzamiento de un dado de seis caras . Los valores posibles son 1, 2, 3, 4, 5, 6 y cada vez que se lanza el dado, la probabilidad de cada valor dado es 1/6. Si se lanzaran dos dados y se sumaran sus valores, las posibles sumas no tendrían la misma probabilidad y, por lo tanto, la distribución de las sumas de dos tiradas de dados no es uniforme.

Aunque es común considerar distribuciones uniformes discretas sobre un rango contiguo de números enteros, como en este ejemplo del dado de seis caras, se pueden definir distribuciones uniformes discretas sobre cualquier conjunto finito . Por ejemplo, el dado de seis caras podría tener símbolos abstractos en lugar de números en cada una de sus caras. De manera menos simple, una permutación aleatoria es una permutación generada de manera uniforme y aleatoria a partir de las permutaciones de un conjunto dado y un árbol de expansión uniforme de un grafo es un árbol de expansión seleccionado con probabilidades uniformes del conjunto completo de árboles de expansión del grafo.

La distribución uniforme discreta en sí misma no es paramétrica . Sin embargo, en el caso común de que sus posibles valores de resultado sean los números enteros en un intervalo , entonces a y b son parámetros de la distribución y En estos casos, la función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución uniforme discreta se puede expresar, para cualquier k , como ${\textstyle [a,b]}$ ${\textstyle n=b-a+1.}$

$${\displaystyle F(k;a,b)=\min \left(\max \left({\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}},0\right),1\right),}$$

o simplemente

$${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$$

sobre el soporte de la distribución ${\textstyle k\in [a,b].}$

Estimación del máximo

El problema de estimar el máximo de una distribución uniforme discreta en el intervalo entero a partir de una muestra de k observaciones se conoce comúnmente como el problema del tanque alemán , luego de la aplicación práctica de este problema de estimación máxima, durante la Segunda Guerra Mundial , por parte de las fuerzas aliadas que buscaban estimar la producción de tanques alemanes. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle [1,N]}$

Un estimador insesgado de varianza mínima uniforme (UMVU) para el máximo de la distribución en términos de m, el máximo de la muestra , y k, el tamaño de la muestra , es

${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1}$. ^[1]

Esto puede verse como un caso muy simple de estimación de espaciado máximo .

Esto tiene una variación de

${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N}$^[1]

Por lo tanto, una desviación estándar de aproximadamente , el tamaño de la brecha promedio de la población entre las muestras. ${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$

El máximo de la muestra en sí mismo es el estimador de máxima verosimilitud para el máximo de la población, pero está sesgado. ${\displaystyle m}$

Si las muestras de una distribución uniforme discreta no están numeradas en orden pero son reconocibles o marcables, se puede estimar el tamaño de la población mediante un método de marcar y recapturar .

Permutación aleatoria

Consulte los números de encuentros para obtener una descripción de la distribución de probabilidad del número de puntos fijos de una permutación aleatoria distribuida uniformemente .

Propiedades

La familia de distribuciones discretas uniformes sobre rangos de números enteros con uno o ambos límites desconocidos tiene una estadística suficiente de dimensión finita , es decir, el triple del máximo de la muestra, el mínimo de la muestra y el tamaño de la muestra.

Las distribuciones discretas uniformes sobre rangos de números enteros acotados no constituyen una familia exponencial de distribuciones porque su soporte varía con sus parámetros.

Para las familias de distribuciones en las que sus soportes no dependen de sus parámetros, el teorema de Pitman-Koopman-Darmois establece que sólo las familias exponenciales tienen estadísticas suficientes de dimensiones que se acotan a medida que aumenta el tamaño de la muestra. La distribución uniforme es, por tanto, un ejemplo sencillo que muestra la necesidad de las condiciones de este teorema.

Véase también

• Distribución delta de Dirac
• Distribución uniforme continua

Referencias

1. Johnson, Roger (1994), "Estimación del tamaño de una población", Teaching Statistics , 16 (2 (verano)): 50–52, CiteSeerX  10.1.1.385.5463 , doi :10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x