Uniformidad máxima

Concepto en la teoría musical

La escala mayor es lo más uniforme posible. Por ejemplo, para cada intervalo genérico de un segundo sólo hay dos intervalos específicos posibles: 1 semitono (un segundo menor) o 2 semitonos (un segundo mayor).

La escala menor armónica no es uniforme en su máxima expresión. Para el intervalo genérico de un segundo, en lugar de solo dos intervalos específicos, la escala contiene tres: 1, 2 y 3 ( segunda aumentada ) semitonos.

En teoría de escalas (música) , un conjunto (escala) máximamente par es aquel en el que cada intervalo genérico tiene uno o dos intervalos específicos enteros consecutivos ; en otras palabras, una escala cuyas notas (pcs) están "lo más esparcidas posible". Esta propiedad fue descrita por primera vez por John Clough y Jack Douthett. ^[1] Clough y Douthett también introdujeron el algoritmo máximamente par. Para una cardinalidad cromática c y una cardinalidad de conjunto pc d , un conjunto máximamente par es

${\displaystyle D={\left\lfloor {\frac {ck+m}{d}}\right\rfloor }}$

donde k varía de 0 a d − 1 y m , 0 ≤ m ≤ c − 1 es fijo y el par de corchetes es la función de piso . Se puede encontrar una discusión sobre estos conceptos en el libro de Timothy Johnson sobre los fundamentos matemáticos de la teoría de la escala diatónica. ^[2] Jack Douthett y Richard Krantz introdujeron los conjuntos máximamente pares en la literatura matemática. ^{[3] [4]}

Se dice que una escala tiene la propiedad de Myhill si cada intervalo genérico viene en dos tamaños de intervalo específicos , y se dice que una escala con la propiedad de Myhill es una escala bien formada . ^[5] La colección diatónica es una escala bien formada y es máximamente uniforme. La escala de tonos enteros también es máximamente uniforme, pero no está bien formada ya que cada intervalo genérico viene en un solo tamaño.

La uniformidad máxima de segundo orden es la uniformidad máxima de una subcolección de una colección mayor que es máximamente uniforme. Las tríadas diatónicas y los acordes de séptima poseen una uniformidad máxima de segundo orden, siendo máximamente uniformes con respecto a la escala diatónica máximamente uniforme, pero no son máximamente uniformes con respecto a la escala cromática. (ibid, p.115) Esta cualidad anidada se asemeja al "formato reduccional" de Fred Lerdahl ^{[6] para} el espacio tonal de abajo hacia arriba:

(Lerdahl, 1992)

En un enfoque dinámico , se han construido círculos concéntricos giratorios y conjuntos iterados de máxima uniformidad. Este enfoque tiene implicaciones en la teoría neoriemanniana y conduce a algunas conexiones interesantes entre la teoría diatónica y cromática . ^[7] Emmanuel Amiot ha descubierto otra forma de definir conjuntos de máxima uniformidad empleando transformadas de Fourier discretas . ^{[8] [9]}

Carey, Norman y Clampitt, David (1989). "Aspectos de escalas bien formadas", Music Theory Spectrum 11: 187–206.

Referencias

1. Clough, John; Douthett, Jack (1991). "Conjuntos de máxima uniformidad". Revista de teoría musical . 35 (35): 93–173. doi :10.2307/843811. JSTOR  843811.
2. Johnson, Timothy (2003). Fundamentos de la teoría diatónica: un enfoque basado en las matemáticas para los fundamentos musicales . Key College Publishing. ISBN 1-930190-80-8.
3. Douthett, Jack; Krantz, Richard (2007). "Conjuntos y configuraciones máximamente uniformes: puntos en común en matemáticas, física y música". Revista de optimización combinatoria . 14 (4): 385-410. doi :10.1007/s10878-006-9041-5. S2CID  41964397.
4. Douthett, Jack; Krantz, Richard (2007). "Mesas de comedor y círculos concéntricos: una armonía de matemáticas, música y física". Revista de matemáticas universitarias . 39 (3): 203-211. doi :10.1080/07468342.2008.11922294. S2CID  117686406.
5. Carey, Norman; Clampitt, David (1989). "Aspectos de escalas bien formadas". Music Theory Spectrum . 11 (2): 187–206. doi :10.2307/745935. JSTOR  745935.
6. Lerdahl, Fred (1992). "Restricciones cognitivas en sistemas compositivos". Revista de música contemporánea . 6 (2): 97-121. CiteSeerX 10.1.1.168.1343 . doi :10.1080/07494469200640161. 
7. Douthett, Jack (2008). "Simetría puntual de filtro y conducción de voces dinámica". Música y matemáticas: acordes, colecciones y transformaciones . Estudios de música de Eastman: 72-106. Ed. J. Douthett, M. Hyde y C. Smith. University of Rochester Press, NY. doi :10.1017/9781580467476.006. ISBN . 9781580467476. Libro  de bolsillo de la editorial .
8. Armiot, Emmanuel (2007). "David Lewin y los conjuntos máximamente uniformes". Revista de Matemáticas y Música . 1 (3): 157-172. doi :10.1080/17459730701654990. S2CID  120481485.
9. Armiot, Emmanuel (2016). Música a través del espacio de Fourier: transformada de Fourier discreta en teoría musical . Springer. ISBN 9783319455808.