Rigidez de las medidas

Concepto en la teoría de la medida

En matemáticas , la rigidez es un concepto de la teoría de la medida . La idea intuitiva es que una colección dada de medidas no "escapa al infinito ".

Definiciones

Sea un espacio de Hausdorff , y sea una σ-álgebra en que contiene la topología . (Por lo tanto, cada subconjunto abierto de es un conjunto medible y es al menos tan fino como la σ-álgebra de Borel en ). Sea una colección de medidas (posiblemente con signo o complejas ) definidas en . La colección se llama ajustada (o a veces uniformemente ajustada ) si, para cualquier , hay un subconjunto compacto de tal que, para todas las medidas , ${\displaystyle (X,T)}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu \in M}$

${\displaystyle |\mu |(X\setminus K_{\varepsilon })<\varepsilon .}$

donde es la medida de variación total de . Muy a menudo, las medidas en cuestión son medidas de probabilidad , por lo que la última parte se puede escribir como ${\displaystyle |\mu |}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .\,}$

Si una colección apretada consiste en una sola medida , entonces (dependiendo del autor) puede decirse que es una medida apretada o que es una medida regular interna . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Si es una variable aleatoria con valor cuya distribución de probabilidad en es una medida estricta, entonces se dice que es una variable aleatoria separable o una variable aleatoria de Radon . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Otro criterio equivalente de la estrechez de una colección es secuencialmente débilmente compacta. Decimos que la familia de medidas de probabilidad es secuencialmente débilmente compacta si para cada secuencia de la familia, hay una subsecuencia de medidas que converge débilmente a alguna medida de probabilidad . Se puede demostrar que una familia de medidas es ajustada si y solo si es secuencialmente débilmente compacta. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left\{\mu _{n}\right\}}$ ${\displaystyle \mu }$

Ejemplos

Espacios compactos

Si es un espacio compacto metrizable , entonces toda colección de medidas (posiblemente complejas) en es ajustada. Esto no es necesariamente así para espacios compactos no metrizables. Si tomamos con su topología de orden , entonces existe una medida en él que no es regular internamente. Por lo tanto, el singleton no es ajustado. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \{\mu \}}$

Espacios polacos

Si es un espacio polaco , entonces cada medida de probabilidad en es ajustada. Además, por el teorema de Prokhorov , una colección de medidas de probabilidad en es ajustada si y solo si es precompacta en la topología de convergencia débil . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Una colección de masas puntuales

Consideremos la línea real con su topología de Borel habitual. Sea , la medida de Dirac , una unidad de masa en el punto en . La colección ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta _{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}|n\in \mathbb {N} \}}$

no es estricto, ya que los subconjuntos compactos de son precisamente los subconjuntos cerrados y acotados , y cualquier conjunto de este tipo, puesto que está acotado, tiene -medida cero para valores suficientemente grandes . Por otra parte, la colección ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \delta _{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}|n\in \mathbb {N} \}}$

es ajustado: el intervalo compacto funcionará como para cualquier . En general, una colección de medidas delta de Dirac en es ajustada si, y solo si, la colección de sus soportes está acotada. ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Una colección de medidas gaussianas

Consideremos un espacio euclidiano de dimensión 1 con su topología de Borel habitual y σ-álgebra. Consideremos una colección de medidas gaussianas ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Gamma =\{\gamma _{i}|i\in I\},}$

donde la medida tiene un valor esperado ( media ) y una matriz de covarianza . Entonces, la colección es ajustada si, y solo si, las colecciones y están ambas acotadas. ${\displaystyle \gamma _{i}}$ ${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \{m_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \{C_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n\times n}}$

Estrechez y convergencia

La estrechez es a menudo un criterio necesario para demostrar la convergencia débil de una secuencia de medidas de probabilidad, especialmente cuando el espacio de medida tiene dimensión infinita . Ver

• Distribución de dimensión finita
• Teorema de Prokhorov
• Métrica de Lévy-Prokhorov
• Débil convergencia de medidas
• Estrechez en el espacio clásico de Wiener
• Estrechez en el espacio de Skorokhod

Estrechez exponencial

Un fortalecimiento de la rigidez es el concepto de rigidez exponencial, que tiene aplicaciones en la teoría de grandes desviaciones . Se dice que una familia de medidas de probabilidad en un espacio topológico de Hausdorff es exponencialmente ajustada si, para cualquier , existe un subconjunto compacto de tal que ${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle K_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .}$

Referencias

• Billingsley, Patrick (1995). Probabilidad y medida . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Probabilidad en espacios de Banach . Berlín: Springer-Verlag. pp. xii+480. ISBN 3-540-52013-9. MR 1102015 (Ver capítulo 2)