En geometría , un endecágono (también undecágono [1] [2] o endecágono [3] ) u 11-gono es un polígono de once lados . (El nombre endecágono , del griego hendeka "once" y –gon "esquina", se prefiere a menudo al híbrido undecágono , cuya primera parte se forma del latín undecim "once". [4] )
Un endecágono regular tiene ángulos internos de 147,27 grados ( =147 grados). [5] El área de un endecágono regular con una longitud de lado a está dada por [2]
Se pueden construir aproximaciones cercanas al endecágono regular. Por ejemplo, los antiguos matemáticos griegos calcularon que la longitud del lado de un endecágono inscrito en un círculo unitario era de 14/25 unidades. [7]
El endecágono se puede construir exactamente mediante la construcción de neusis [8] y también mediante origami doble. [9]
Construcción aproximada
La siguiente descripción de la construcción la da T. Drummond en 1800: [10]
" Traza el radio AB , bisécalo en C —con una abertura del compás igual a la mitad del radio, sobre A y C como centros describe los arcos CDI y AD —con la distancia ID sobre I describe el arco DO y traza la línea CO , que será la medida de un lado de un endecágono suficientemente exacta para la práctica. "
En un círculo unitario:
Longitud lateral del endecágono construido
Longitud teórica del lado del endecágono
Error absoluto : si AB es 10 m, entonces este error es aproximadamente 2,3 mm.
Simetría
Simetrías de un endecágono regular. Los vértices están coloreados según sus posiciones de simetría. Se dibujan líneas de espejo azules a través de los vértices y las aristas. Los órdenes de giro se dan en el centro.
Estas 4 simetrías se pueden ver en 4 simetrías distintas en el endecágono. John Conway las etiqueta con una letra y un orden de grupo. [11] La simetría completa de la forma regular es r22 y ninguna simetría se etiqueta como a1 . Las simetrías diedras se dividen dependiendo de si pasan por vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares), e i cuando las líneas de reflexión pasan por aristas y vértices. Las simetrías cíclicas en la columna del medio se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales.
Cada simetría de subgrupo permite uno o más grados de libertad para formas irregulares. Solo el subgrupo g11 no tiene grados de libertad pero puede verse como aristas dirigidas .
Uso en acuñación de monedas
La moneda de dólar canadiense , el loonie , es similar, aunque no exactamente, a un prisma endecagonal regular , [12] al igual que la moneda india de 2 rupias [13] y varias otras monedas menos utilizadas de otras naciones. [14] La sección transversal de un loonie es en realidad un endecágono de Reuleaux . El dólar estadounidense Susan B. Anthony tiene un contorno endecagonal a lo largo del interior de sus bordes. [15]
Cifras relacionadas
El endecágono comparte el mismo conjunto de 11 vértices con cuatro endecagramas regulares :
Véase también
10-simplex : puede verse como un gráfico completo en una proyección ortogonal endecagonal regular
Referencias
^ Haldeman, Cyrus B. (1922), "Construcción del undecágono regular mediante una curva séxtica", Discusiones, American Mathematical Monthly , 29 (10), doi :10.2307/2299029, JSTOR 2299029.
^ ab Loomis, Elias (1859), Elementos de trigonometría plana y esférica: con sus aplicaciones a la medición, la topografía y la navegación, Harper, pág. 65.
^ Brewer, Ebenezer Cobham (1877), Errores de habla y ortografía, Londres: W. Tegg and co., p. iv.
^ Hendecágono – de Wolfram MathWorld
^ McClain, Kay (1998), Matemáticas de Glencoe: aplicaciones y conexiones, Glencoe/McGraw-Hill, pág. 357, ISBN9780028330549.
^ Como demostró Gauss , se puede construir un polígono con un número primo p de lados si y solo si p − 1 es una potencia de dos , lo que no es cierto para 11. Véase Kline, Morris (1990), Mathematical Thought From Ancient to Modern Times, vol. 2, Oxford University Press, pp. 753–754, ISBN 9780199840427.
^ Heath, Sir Thomas Little (1921), Una historia de las matemáticas griegas, vol. II: De Aristarco a Diofanto, The Clarendon Press, pág. 329.
^ Benjamin, Elliot; Snyder, C. Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge 156.3 (mayo de 2014): 409-424.; https://dx.doi.org/10.1017/S0305004113000753
^ Lucero, JC (2018). «Construcción de un endecágono regular mediante papiroflexia doble». Crux Mathematicorum . 44 : 207–213. Archivado desde el original el 20 de junio de 2018. Consultado el 20 de junio de 2018 .
^ T. Drummond, (1800) The Young Ladies and Gentlemen's AUXILIARY, en Taking Heights and Distances ..., Descripción de la construcción, págs. 15-16 Fig. 40: desplácese desde la página 69 ... hasta la página 76 Parte I. Segunda edición, recuperado el 26 de marzo de 2016
^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos generalizados de Schaefli, Tipos de simetría de un polígono, págs. 275-278)
^ Mossinghoff, Michael J. (2006), "Un problema de $1" (PDF) , American Mathematical Monthly , 113 (5): 385–402, doi :10.2307/27641947, JSTOR 27641947
^ Cuhaj, George S.; Michael, Thomas (2012), Catálogo estándar de monedas del mundo de 2013 desde 2001 hasta la fecha, Krause Publications, pág. 402, ISBN9781440229657.
^ Cuhaj, George S.; Michael, Thomas (2011), Monedas del mundo inusual (6.ª ed.), Krause Publications, págs. 23, 222, 233, 526, ISBN9781440217128.
^ Cámara de Representantes de Estados Unidos, 1978, pág. 7.
Obras citadas
Cámara de Representantes de los Estados Unidos (1978). Propuesta de moneda de un dólar más pequeña . Washington, DC: Oficina de Imprenta del Gobierno.
Enlaces externos
Propiedades de un undecágono (hendecágono) Con animación interactiva
