Valor actual actuarial

El valor actual actuarial ( VPA ) es el valor esperado del valor actual de un flujo de efectivo contingente (es decir, una serie de pagos que pueden o no realizarse). Los valores actuales actuariales se calculan normalmente para el pago de beneficios o la serie de pagos asociados con el seguro de vida y las rentas vitalicias . La probabilidad de un pago futuro se basa en suposiciones sobre la mortalidad futura de la persona, que normalmente se estima utilizando una tabla de mortalidad.

Seguro de vida

El seguro de vida entera paga un beneficio predeterminado en el momento de la muerte del asegurado o poco después de ella. El símbolo (x) se utiliza para indicar "una vida de x años ", donde x es un parámetro no aleatorio que se supone que es mayor que cero. El valor actual actuarial de una unidad de seguro de vida entera emitida para (x) se indica con el símbolo o en notación actuarial . Sea G>0 (la "edad al morir") la variable aleatoria que modela la edad a la que morirá un individuo, como (x) . Y sea T (la variable aleatoria de vida futura) el tiempo transcurrido entre la edad x y la edad que (x) tenga en el momento en que se paga el beneficio (aunque es muy probable que (x) esté muerto en ese momento). Como T es una función de G y x, escribiremos T=T(G,x) . Finalmente, sea Z la variable aleatoria de valor actual de un beneficio de seguro de vida entera de 1 pagadero en el momento T. Entonces: ${\displaystyle \,A_{x}}$ ${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}}$

${\displaystyle \,Z=v^{T}=(1+i)^{-T}=e^{-\delta T}}$

donde i es la tasa de interés anual efectiva y δ es la fuerza de interés equivalente .

Para determinar el valor actual actuarial del beneficio, necesitamos calcular el valor esperado de esta variable aleatoria Z. Supongamos que el beneficio por muerte se paga al final del año del fallecimiento. Entonces, T(G, x) := techo (G - x) es el número de "años completos" (redondeado hacia arriba) vividos por (x) más allá de la edad x , de modo que el valor actual actuarial de una unidad de seguro viene dado por: ${\displaystyle \,E(Z)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=E[Z]=E[v^{T}]\\&=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}Pr[T=t]=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}Pr[T(G,x)=t+1]\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}Pr[t<G-x\leq t+1\mid G>x]\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}\left({\frac {Pr[G>x+t]}{Pr[G>x]}}\right)\left({\frac {Pr[x+t<G\leq x+t+1]}{Pr[G>x+t]}}\right)\\&=\sum _{t=0}^{\infty }v^{t+1}{}_{t}p_{x}\cdot q_{x+t}\end{aligned}}}$

donde es la probabilidad de que (x) sobreviva hasta la edad x+t , y es la probabilidad de que (x+t) muera dentro de un año. ${\displaystyle {}_{t}p_{x}}$ ${\displaystyle \,q_{x+t}}$

Si el beneficio es pagadero en el momento de la muerte, entonces T(G,x): = G - x y el valor actual actuarial de una unidad de seguro de vida entera se calcula como

${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}\!=E[v^{T}]=\int _{0}^{\infty }v^{t}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt,}$

donde es la función de densidad de probabilidad de T , es la probabilidad de que una persona de una edad determinada sobreviva hasta la edad y denota la fuerza de mortalidad en el momento de una persona de una edad determinada . ${\displaystyle f_{T}}$ ${\displaystyle \,_{t}p_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+t}$ ${\displaystyle \mu _{x+t}}$ ${\displaystyle x+t}$ ${\displaystyle x}$

El valor actual actuarial de una unidad de una póliza de seguro a término de n años pagadera en el momento de la muerte se puede encontrar de manera similar integrando de 0 a n .

El valor actual actuarial de un beneficio de seguro de dotación pura de n años de 1 pagadero después de n años si está vivo, se puede encontrar como

${\displaystyle \,_{n}E_{x}=Pr[G>x+n]v^{n}=\,_{n}p_{x}v^{n}}$

En la práctica, la información disponible sobre la variable aleatoria G (y a su vez T ) puede extraerse de las tablas de mortalidad, que dan cifras por año. Por ejemplo, un seguro de vida a término de tres años de $100,000 pagadero al final del año del fallecimiento tiene un valor actual actuarial

${\displaystyle 100,000\,A_{{\stackrel {1}{x}}:{{\overline {3}}|}}=100,000\sum _{t=1}^{3}v^{t}Pr[T(G,x)=t]}$

Por ejemplo, supongamos que hay un 90% de posibilidades de que un individuo sobreviva un año determinado (es decir, T tiene una distribución geométrica con parámetro p = 0,9 y el conjunto {1, 2, 3, ...} para su soporte). Entonces

${\displaystyle Pr[T(G,x)=1]=0.1,\quad Pr[T(G,x)=2]=0.9(0.1)=0.09,\quad Pr[T(G,x)=3]=0.9^{2}(0.1)=0.081,}$

y a una tasa de interés del 6% el valor actual actuarial de una unidad del seguro a plazo de tres años es

${\displaystyle \,A_{{\stackrel {1}{x}}:{{\overline {3}}|}}=0.1(1.06)^{-1}+0.09(1.06)^{-2}+0.081(1.06)^{-3}=0.24244846,}$

Por lo tanto, el valor actual actuarial del seguro de $100,000 es $24,244.85.

En la práctica, el beneficio puede ser pagadero al final de un período más corto que un año, lo que requiere un ajuste de la fórmula.

Renta vitalicia

El valor actual actuarial de una renta vitalicia de 1 por año pagada de forma continua se puede hallar de dos maneras:

Técnica de pago agregado (tomando el valor esperado del valor actual total ):

Este método es similar al de una póliza de seguro de vida. En este caso, la variable aleatoria Y es la variable aleatoria de valor presente total de una anualidad de 1 por año, emitida a una persona de edad x , pagada de forma continua mientras la persona esté viva, y viene dada por:

${\displaystyle Y={\overline {a}}_{\overline {T(x)|}}={\frac {1-(1+i)^{-T}}{\delta }}={\frac {1-v^{T}(x)}{\delta }},}$

donde T=T(x) es la variable aleatoria de la vida futura de una persona de edad x . El valor esperado de Y es:

${\displaystyle \,{\overline {a}}_{x}=\int _{0}^{\infty }{\overline {a}}_{\overline {t|}}f_{T}(t)\,dt=\int _{0}^{\infty }{\overline {a}}_{\overline {t|}}\,_{t}p_{x}\mu _{x+t}\,dt.}$

Técnica de pago actual (tomando el valor actual total de la función del tiempo que representa los valores esperados de los pagos):

${\displaystyle \,{\overline {a}}_{x}=\int _{0}^{\infty }v^{t}[1-F_{T}(t)]\,dt=\int _{0}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}\,dt}$

donde F ( t ) es la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria T .

La equivalencia se deriva también de la integración por partes.

En la práctica, las rentas vitalicias no se pagan de forma continua. Si los pagos se realizan al final de cada período, el valor actual actuarial viene dado por

${\displaystyle a_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}[1-F_{T}(t)]=\sum _{t=1}^{\infty }v^{t}\,_{t}p_{x}.}$

Manteniendo el pago total anual igual a 1, cuanto mayor sea el período, menor será el valor actual debido a dos efectos:

• Los pagos se efectúan, de media, medio periodo más tarde que en el caso continuo.
• No existe un pago proporcional al tiempo en el período de la muerte, es decir, una "pérdida" de pago por, en promedio, medio período.

Por el contrario, para contratos que cuestan una suma global igual y tienen la misma tasa interna de retorno , cuanto más largo sea el período entre pagos, mayor será el pago total por año.

El seguro de vida en función de la renta vitalicia

El APV de un seguro de vida entera se puede derivar del APV de una renta vitalicia de vida entera, de la siguiente manera:

${\displaystyle \,A_{x}=1-iv{\ddot {a}}_{x}}$

Esto también se escribe comúnmente como:

${\displaystyle \,A_{x}=1-d{\ddot {a}}_{x}}$

En el caso continuo,

${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}=1-\delta {\overline {a}}_{x}.}$

En el caso en que la anualidad y el seguro de vida no sean de vida entera, se debe reemplazar el seguro con un seguro de dotación de n años (que puede expresarse como la suma de un seguro a plazo de n años y un seguro de dotación pura de n años), y la anualidad con una anualidad con vencimiento de n años.

Véase también

• Ciencia actuarial
• Notación actuarial
• Reserva actuarial
• Actuario
• Tabla de vida
• Valor actual

Referencias

• Matemáticas actuariales (segunda edición), 1997, por Bowers, NL, Gerber, HU, Hickman, JC, Jones, DA y Nesbitt, CJ, capítulos 4 y 5
• Modelos para cuantificar el riesgo (cuarta edición), 2011, por Robin J. Cunningham, Thomas N. Herzog, Richard L. London, capítulos 7 y 8