Matriz que, elevada al cuadrado, es igual a sí misma
En álgebra lineal , una matriz idempotente es una matriz que, al multiplicarse por sí misma, da como resultado ella misma. [1] [2] Es decir, la matriz es idempotente si y solo si . Para que este producto esté definido , , necesariamente debe ser una matriz cuadrada . Vistas de esta manera, las matrices idempotentes son elementos idempotentes de anillos de matrices .![{\estilo de visualización A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización A^{2}=A](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización A^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo
Ejemplos de matrices idempotentes son:![{\displaystyle 2\times 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos de matrices idempotentes son:![{\displaystyle 3\times 3}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Caso real 2×2
Si una matriz es idempotente, entonces![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a=a^{2}+bc,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
lo que implica así o![{\displaystyle b(1-ad)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización b=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d=1-a,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
lo que implica así o![{\displaystyle c(1-ad)=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización c=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d=1-a,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d=bc+d^{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por lo tanto, una condición necesaria para que una matriz sea idempotente es que sea diagonal o que su traza sea igual a 1. Para las matrices diagonales idempotentes, y debe ser 1 o 0.![{\displaystyle 2\times 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización a}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización d}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si , la matriz será idempotente siempre que a satisfaga la ecuación cuadrática![{\estilo de visualización b=c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
o![{\displaystyle \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es un círculo con centro (1/2, 0) y radio 1/2. En términos de un ángulo θ,
es idempotente.
Sin embargo, no es una condición necesaria: cualquier matriz![{\estilo de visualización b=c}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con es idempotente.![Estilo de visualización a^{2}+bc=a](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
Singularidad y regularidad
La única matriz idempotente no singular es la matriz identidad ; es decir, si una matriz no identidad es idempotente, su número de filas (y columnas) independientes es menor que su número de filas (y columnas).
Esto se puede ver escribiendo , asumiendo que A tiene rango completo (no es singular) y premultiplicando por para obtener .![Estilo de visualización A^{2}=A](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización A-1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuando se resta una matriz idempotente de la matriz identidad, el resultado también es idempotente. Esto se cumple porque
![{\displaystyle (IA)(IA)=IA-A+A^{2}=IA-A+A=IA.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si una matriz A es idempotente, entonces para todos los enteros positivos n, . Esto se puede demostrar mediante prueba por inducción. Claramente tenemos el resultado para , ya que . Supóngase que . Entonces, , ya que A es idempotente. Por lo tanto, por el principio de inducción, se sigue el resultado.![Estilo de visualización A^{n}=A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización n=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización A^{1}=A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{k-1}=A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A^{k}=A^{k-1}A=AA=A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Valores propios
Una matriz idempotente siempre es diagonalizable . [3] Sus valores propios son 0 o 1: si es un vector propio distinto de cero de alguna matriz idempotente y su valor propio asociado, entonces lo que implica Esto implica además que el determinante de una matriz idempotente siempre es 0 o 1. Como se indicó anteriormente, si el determinante es igual a uno, la matriz es invertible y, por lo tanto, es la matriz identidad .![{\displaystyle \mathbf {x}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización \lambda}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda \en \{0,1\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Rastro
La traza de una matriz idempotente (la suma de los elementos de su diagonal principal) es igual al rango de la matriz y, por lo tanto, siempre es un número entero. Esto proporciona una manera fácil de calcular el rango o, alternativamente, una manera fácil de determinar la traza de una matriz cuyos elementos no se conocen específicamente (lo que resulta útil en estadística , por ejemplo, para establecer el grado de sesgo al utilizar una varianza de muestra como estimación de una varianza de población ).
Relaciones entre matrices idempotentes
En el análisis de regresión, se sabe que la matriz produce los residuos de la regresión del vector de variables dependientes sobre la matriz de covariables . (Véase la sección Aplicaciones.) Ahora, sea una matriz formada a partir de un subconjunto de las columnas de , y sea . Es fácil demostrar que tanto y son idempotentes, pero un hecho algo sorprendente es que . Esto se debe a que , o en otras palabras, los residuos de la regresión de las columnas de en son 0 ya que se puede interpolar perfectamente ya que es un subconjunto de (por sustitución directa también es sencillo demostrar que ). Esto conduce a otros dos resultados importantes: uno es que es simétrico e idempotente, y el otro es que , es decir, es ortogonal a . Estos resultados juegan un papel clave, por ejemplo, en la derivación de la prueba F.![{\displaystyle M=IX(X'X)^{-1}X'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización e}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización X_{1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización M_{1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización MM_{1}=M](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización MX_{1}=0](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización X_{1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![Estilo de visualización X_{1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle MX=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización (M_{1}-M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (M_{1}-M)M=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización (M_{1}-M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cualquier matriz similar de una matriz idempotente también es idempotente. La idempotencia se conserva bajo un cambio de base . Esto se puede demostrar mediante la multiplicación de la matriz transformada por siendo idempotente: .![Estilo de visualización SAS-1](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (SAS^{-1})^{2}=(SAS^{-1})(SAS^{-1})=SA(S^{-1}S)AS^{-1}= SA^{2}S^{-1}=SAS^{-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aplicaciones
Las matrices idempotentes surgen con frecuencia en el análisis de regresión y la econometría . Por ejemplo, en los mínimos cuadrados ordinarios , el problema de regresión consiste en elegir un vector β de estimaciones de coeficientes de modo de minimizar la suma de los residuos al cuadrado (predicciones erróneas) e i : en forma de matriz,
- Minimizar
![{\displaystyle (yX\beta )^{\textsf {T}}(yX\beta )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es un vector de observaciones de la variable dependiente y es una matriz cuyas columnas son columnas de observaciones de una de las variables independientes . El estimador resultante es![{\estilo de visualización y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde el superíndice T indica una transposición y el vector de residuos es [2]
![{\displaystyle {\hat {e}}=yX{\hat {\beta }}=yX\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[IX\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí, tanto y (la última se conoce como la matriz del sombrero ) son matrices idempotentes y simétricas, un hecho que permite la simplificación cuando se calcula la suma de los residuos al cuadrado:![{\estilo de visualización M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(Mi)^{\textsf {T}}(Mi)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}Mi=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}Mi.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La idempotencia de también juega un papel en otros cálculos, como por ejemplo en la determinación de la varianza del estimador .![{\estilo de visualización M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\sombrero {\beta }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un operador lineal idempotente es un operador de proyección en el espacio de rango a lo largo de su espacio nulo . es un operador de proyección ortogonal si y solo si es idempotente y simétrico .
![{\estilo de visualización N(P)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\estilo de visualización P}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Véase también
Referencias
- ^ Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 80. ISBN 0070108137.
- ^ ab Greene, William H. (2003). Análisis econométrico (5.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice–Hall. págs. 808–809. ISBN 0130661899.
- ^ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Análisis matricial . Cambridge University Press. pág. 148. ISBN 0521386322.