Matriz idempotente

Matriz que, elevada al cuadrado, es igual a sí misma

En álgebra lineal , una matriz idempotente es una matriz que, al multiplicarse por sí misma, da como resultado ella misma. ^{[1] [2]} Es decir, la matriz es idempotente si y solo si . Para que este producto esté definido , , necesariamente debe ser una matriz cuadrada . Vistas de esta manera, las matrices idempotentes son elementos idempotentes de anillos de matrices . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{2}=A}$ ${\displaystyle A^{2}}$ ${\displaystyle A}$

Ejemplo

Ejemplos de matrices idempotentes son: ${\displaystyle 2\times 2}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}3&-6\\1&-2\end{bmatrix}}}$$

Ejemplos de matrices idempotentes son: ${\displaystyle 3\times 3}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{bmatrix}}}$$

Caso real 2×2

Si una matriz es idempotente, entonces ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle a=a^{2}+bc,}$
• ${\displaystyle b=ab+bd,}$lo que implica así o ${\displaystyle b(1-a-d)=0}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle c=ca+cd,}$lo que implica así o ${\displaystyle c(1-a-d)=0}$ ${\displaystyle c=0}$ ${\displaystyle d=1-a,}$
• ${\displaystyle d=bc+d^{2}.}$

Por lo tanto, una condición necesaria para que una matriz sea idempotente es que sea diagonal o que su traza sea igual a 1. Para las matrices diagonales idempotentes, y debe ser 1 o 0. ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle d}$

Si , la matriz será idempotente siempre que a satisfaga la ecuación cuadrática ${\displaystyle b=c}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$

${\displaystyle a^{2}-a+b^{2}=0,}$o ${\displaystyle \left(a-{\frac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}={\frac {1}{4}}}$

que es un círculo con centro (1/2, 0) y radio 1/2. En términos de un ángulo θ,

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}}$es idempotente.

Sin embargo, no es una condición necesaria: cualquier matriz ${\displaystyle b=c}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&1-a\end{pmatrix}}}$con es idempotente. ${\displaystyle a^{2}+bc=a}$

Propiedades

Singularidad y regularidad

La única matriz idempotente no singular es la matriz identidad ; es decir, si una matriz no identidad es idempotente, su número de filas (y columnas) independientes es menor que su número de filas (y columnas).

Esto se puede ver escribiendo , asumiendo que A tiene rango completo (no es singular) y premultiplicando por para obtener . ${\displaystyle A^{2}=A}$ ${\displaystyle A^{-1}}$ ${\displaystyle A=IA=A^{-1}A^{2}=A^{-1}A=I}$

Cuando se resta una matriz idempotente de la matriz identidad, el resultado también es idempotente. Esto se cumple porque

${\displaystyle (I-A)(I-A)=I-A-A+A^{2}=I-A-A+A=I-A.}$

Si una matriz A es idempotente, entonces para todos los enteros positivos n, . Esto se puede demostrar mediante prueba por inducción. Claramente tenemos el resultado para , ya que . Supóngase que . Entonces, , ya que A es idempotente. Por lo tanto, por el principio de inducción, se sigue el resultado. ${\displaystyle A^{n}=A}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle A^{1}=A}$ ${\displaystyle A^{k-1}=A}$ ${\displaystyle A^{k}=A^{k-1}A=AA=A}$

Valores propios

Una matriz idempotente siempre es diagonalizable . ^[3] Sus valores propios son 0 o 1: si es un vector propio distinto de cero de alguna matriz idempotente y su valor propio asociado, entonces lo que implica Esto implica además que el determinante de una matriz idempotente siempre es 0 o 1. Como se indicó anteriormente, si el determinante es igual a uno, la matriz es invertible y, por lo tanto, es la matriz identidad . ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\textstyle \lambda \mathbf {x} =A\mathbf {x} =A^{2}\mathbf {x} =A\lambda \mathbf {x} =\lambda A\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} ,}$ ${\displaystyle \lambda \in \{0,1\}.}$

Rastro

La traza de una matriz idempotente (la suma de los elementos de su diagonal principal) es igual al rango de la matriz y, por lo tanto, siempre es un número entero. Esto proporciona una manera fácil de calcular el rango o, alternativamente, una manera fácil de determinar la traza de una matriz cuyos elementos no se conocen específicamente (lo que resulta útil en estadística , por ejemplo, para establecer el grado de sesgo al utilizar una varianza de muestra como estimación de una varianza de población ).

Relaciones entre matrices idempotentes

En el análisis de regresión, se sabe que la matriz produce los residuos de la regresión del vector de variables dependientes sobre la matriz de covariables . (Véase la sección Aplicaciones.) Ahora, sea una matriz formada a partir de un subconjunto de las columnas de , y sea . Es fácil demostrar que tanto y son idempotentes, pero un hecho algo sorprendente es que . Esto se debe a que , o en otras palabras, los residuos de la regresión de las columnas de en son 0 ya que se puede interpolar perfectamente ya que es un subconjunto de (por sustitución directa también es sencillo demostrar que ). Esto conduce a otros dos resultados importantes: uno es que es simétrico e idempotente, y el otro es que , es decir, es ortogonal a . Estos resultados juegan un papel clave, por ejemplo, en la derivación de la prueba F. ${\displaystyle M=I-X(X'X)^{-1}X'}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1}=I-X_{1}(X_{1}'X_{1})^{-1}X_{1}'}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle MM_{1}=M}$ ${\displaystyle MX_{1}=0}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle MX=0}$ ${\displaystyle (M_{1}-M)}$ ${\displaystyle (M_{1}-M)M=0}$ ${\displaystyle (M_{1}-M)}$ ${\displaystyle M}$

Cualquier matriz similar de una matriz idempotente también es idempotente. La idempotencia se conserva bajo un cambio de base . Esto se puede demostrar mediante la multiplicación de la matriz transformada por siendo idempotente: . ${\displaystyle SAS^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (SAS^{-1})^{2}=(SAS^{-1})(SAS^{-1})=SA(S^{-1}S)AS^{-1}=SA^{2}S^{-1}=SAS^{-1}}$

Aplicaciones

Las matrices idempotentes surgen con frecuencia en el análisis de regresión y la econometría . Por ejemplo, en los mínimos cuadrados ordinarios , el problema de regresión consiste en elegir un vector β de estimaciones de coeficientes de modo de minimizar la suma de los residuos al cuadrado (predicciones erróneas) e _i : en forma de matriz,

Minimizar ${\displaystyle (y-X\beta )^{\textsf {T}}(y-X\beta )}$

donde es un vector de observaciones de la variable dependiente y es una matriz cuyas columnas son columnas de observaciones de una de las variables independientes . El estimador resultante es ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}=\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y}$

donde el superíndice T indica una transposición y el vector de residuos es ^[2]

${\displaystyle {\hat {e}}=y-X{\hat {\beta }}=y-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}y=\left[I-X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}\right]y=My.}$

Aquí, tanto y (la última se conoce como la matriz del sombrero ) son matrices idempotentes y simétricas, un hecho que permite la simplificación cuando se calcula la suma de los residuos al cuadrado: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X\left(X^{\textsf {T}}X\right)^{-1}X^{\textsf {T}}}$

${\displaystyle {\hat {e}}^{\textsf {T}}{\hat {e}}=(My)^{\textsf {T}}(My)=y^{\textsf {T}}M^{\textsf {T}}My=y^{\textsf {T}}MMy=y^{\textsf {T}}My.}$

La idempotencia de también juega un papel en otros cálculos, como por ejemplo en la determinación de la varianza del estimador . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\hat {\beta }}}$

Un operador lineal idempotente es un operador de proyección en el espacio de rango ⁠ ⁠ a lo largo de su espacio nulo ⁠ ⁠ . es un operador de proyección ortogonal si y solo si es idempotente y simétrico . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R(P)}$ ${\displaystyle N(P)}$ ${\displaystyle P}$

Véase también

• Idempotencia
• Nilpotente
• Proyección (álgebra lineal)
• Matriz de sombreros

Referencias

1. Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (3.ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill. pág. 80. ISBN 0070108137.
2. Greene, William H. (2003). Análisis econométrico (5.ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Prentice–Hall. págs. 808–809. ISBN 0130661899.
3. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Análisis matricial . Cambridge University Press. pág. 148. ISBN 0521386322.