Línea de retardo digital

Representación del diagrama de bloques estándar de la línea de retardo de número entero M. ^[1]

Una línea de retardo digital (o simplemente línea de retardo , también llamada filtro de retardo ) es un elemento discreto en un filtro digital , que permite que una señal se retrase por un número de muestras . Las líneas de retardo se utilizan comúnmente para retrasar las señales de audio que alimentan los altavoces para compensar la velocidad del sonido en el aire y para alinear las señales de video con el audio que las acompaña, lo que se denomina sincronización de audio a video . Las líneas de retardo pueden compensar la latencia del procesamiento electrónico para que varias señales salgan de un dispositivo simultáneamente a pesar de tener diferentes vías.

Las líneas de retardo digitales son componentes básicos ampliamente utilizados en métodos para simular la acústica de salas , instrumentos musicales y unidades de efectos . La síntesis de guía de ondas digitales muestra cómo se pueden utilizar las líneas de retardo digitales como métodos de síntesis de sonido para diversos instrumentos musicales, como instrumentos de cuerda e instrumentos de viento .

Si una línea de retardo contiene un valor no entero menor que uno, se obtiene como resultado una línea de retardo fraccionaria (también llamada línea de retardo interpolada o filtro de retardo fraccionario). Una serie de una línea de retardo entera y un filtro de retardo fraccionario se utiliza comúnmente para modelar filtros de retardo arbitrarios en el procesamiento de señales digitales . ^[2] El esquema Dattorro es una implementación estándar de la industria de filtros digitales que utilizan líneas de retardo fraccionarias. ^[3]

Teoría

La línea de retardo estándar con retardo entero se deriva de la transformada Z de una señal de tiempo discreto retrasada por muestras ^[4] : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle y[n]=x[n-M]}$ ${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {Z}}}}$ ${\displaystyle Y(z)=\overbrace {z^{-M}} ^{H_{M}(z)}X(z).}$

En este caso, el filtro de retardo entero es: ${\displaystyle z^{-M}=H_{M}(z)}$

${\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega M,&{\text{linear phase with }}\omega =2\pi fT_{s}{\text{ where }}T_{s}{\text{ is the sampling period in seconds }}[s].\end{cases}}}$

El filtro de dominio de tiempo discreto para el retardo entero como la transformada zeta inversa de es trivial, ya que es un impulso desplazado por ^[5] : ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{M}(z)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle h_{m}[n]={\begin{cases}{\text{1}},&{\text{for }}n=M\\0,&{\text{for }}n\neq M.\end{cases}}}$

Trabajar en el dominio del tiempo discreto con retardos fraccionarios es menos trivial. En su forma teórica más general, una línea de retardo con un retardo fraccionario arbitrario se define como una línea de retardo estándar con delay , que se puede modelar como la suma de un componente entero y un componente fraccionario que es más pequeño que una muestra: ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle d\in \mathbb {R} }$

Línea de retardo (fraccional) - Dominio ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$

Esta es la representación del dominio de un problema de diseño de filtro digital no trivial : la solución es un filtro de dominio temporal cualquiera que representa o se aproxima a la transformada Z inversa de . ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle H_{D}(z)}$

Soluciones de diseño de filtros

Solución ingenua

La solución conceptualmente más sencilla se obtiene mediante el muestreo de la solución del dominio de tiempo continuo, que es trivial para cualquier valor de retardo. Dada una señal de tiempo continuo con un retardo de muestras o segundos ^[6] : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \tau =DT_{s}}$

${\displaystyle y(t)=x(t-D)}$ ${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle Y(\omega )=\overbrace {e^{-j\omega D}} ^{H_{ideal}(\omega )}X(\omega ).}$

En este caso, el filtro de retardo fraccional de dominio de tiempo continuo tiene: ${\displaystyle e^{-j\omega D}=H_{ideal}(\omega )}$

${\displaystyle {\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\measuredangle =-\omega D,&{\text{linear phase}}\\\tau _{gr}=-{d\measuredangle \over {d\omega }}=D,&{\text{constant group delay}}\\\tau _{ph}=-{\measuredangle \over {\omega }}=-D,&{\text{constant phase delay.}}\end{cases}}}$

La solución ingenua para el filtro muestreado es la transformada de Fourier inversa muestreada de , que produce un filtro IIR no causal con forma de seno cardinal desplazado por ^[6] : ${\displaystyle h_{ideal}[n]}$ ${\displaystyle H_{ideal}(\omega )}$ ${\displaystyle sinc()}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle h_{ideal}[n]={\mathcal {F}}^{-1}[H_{ideal}(\omega )]={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =sinc(n-D)={sin(\pi (n-D)) \over {\pi (n-D)}}}$

El dominio del tiempo continuo se desplaza por el retraso fraccional mientras que el muestreo siempre está alineado con el plano cartesiano, por lo tanto: ${\displaystyle sinc}$

• cuando el retraso es un número entero de muestras , el desplazamiento muestreado degenera en un impulso desplazado tal como en la solución teórica. ${\displaystyle D\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle sinc}$
• Cuando el retraso es un número fraccionario de muestras , el desplazamiento muestreado produce un filtro IIR no causal, que no se puede implementar en la práctica. ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle sinc}$

La línea de retardo fraccionario ideal se obtiene mediante el muestreo de la transformada de Fourier inversa del filtro de retardo fraccionario de dominio de tiempo continuo. Observe cómo para el valor de retardo entero este caso degenera en impulsos desplazados simples. El retraso de una señal muestreada con este filtro coincide conceptualmente con el remuestreo de su fuente analógica con un período de muestreo igual pero con una alineación de la muestra desplazada en . Observe también que la imagen muestra solo las pocas muestras alrededor de cero, pero el IIR no causal está definido para una cantidad infinita de muestras en ambas direcciones del eje x. ${\displaystyle D\in \mathbb {R} }$

Solución FIR causal truncada

La solución conceptualmente más fácil de implementar es el truncamiento causal de la solución ingenua anterior. ^[7]

${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}sinc(n-D)&{\text{for }}0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{N-1 \over {2}}<D<{N+1 \over {2}}\;\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;\;N\;{\text{is the order of the filter.}}}$

Sin embargo, truncar la respuesta al impulso puede causar inestabilidad, que se puede mitigar de algunas maneras:

• Enventanando la respuesta al impulso truncada, por lo tanto suavizándola. Nótese que en este caso tenemos que agregar un desplazamiento adicional para alinear la ventana y proporcionar un filtrado simétrico ^{[7] [8]} . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle sinc()}$

  ${\displaystyle h_{\tau }[n]={\begin{cases}w(n-D)sinc(n-D)&{\text{for }}L\leq n\leq L+N\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;L={\begin{cases}round(D)-{N \over {2}}&{\text{for even }}N\\\lfloor D\rfloor -{N-1 \over {2}}&{\text{for odd }}N\end{cases}}}$

• Método de mínimos cuadrados general (GLS): ^[2] ajusta iterativamente la respuesta de frecuencia mediante la ventana de un diseño de error integral de mínimos cuadrados, que minimiza el error integral cuadrado entre las respuestas de frecuencia ideal y truncada del filtro, definido como:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\alpha \pi }^{\alpha \pi }w(\omega )|H_{D}^{truncated}(e^{j\omega })-H_{D}^{id}(e^{j\omega })|^{2}d\omega \;\;\;\;\;{\text{where }}0<\alpha \leq 1{\text{ is the passband width parameter}}}$

• Interpolador de Lagrange (filtro de retardo fraccional de máxima planitud): ^[9] añade restricciones de "planitud" a las primeras N derivadas del error integral de mínimos cuadrados. Este método es de particular interés porque tiene una solución en forma cerrada:

Representación en diagrama de bloques de la fórmula del interpolador de Lagrange. ^[10]

${\displaystyle h_{D}[n]=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{D-k \over {n-k}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;0\leq n\leq N}$

Lo que sigue es una expansión de la fórmula anterior que muestra los filtros resultantes de orden hasta : ${\displaystyle N=3}$

Solución aproximada de fase IIR de todos los pasos

Otro enfoque es diseñar un filtro IIR de orden con una estructura de transformada Z que lo obliga a ser un filtro de paso total mientras aún se aproxima a un retraso ^[7] : ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle H_{D}(z)={z^{-N}A(z) \over {A(z^{-1})}}={a_{N}+a_{N-1}z^{-1}+...+a_{1}z^{-(N-1)}+z^{-N} \over {1+a_{1}z^{-1}+...+a_{N-1}z^{-(N-1)}+a_{N}z^{-N}}}\;\;\;\;\;{\text{which has}}\;\;\;\;\;{\begin{cases}|\centerdot |=1=0dB&0dB{\text{ gain}}\\\measuredangle _{H_{D}(z)}=-N\omega +2\measuredangle _{A(z)}=-D\omega &{\text{desired value for delay }}D\end{cases}}}$

Los ceros y polos colocados recíprocamente de aplanan respectivamente la respuesta de frecuencia , mientras que la fase es función de la fase de . Por lo tanto, el problema pasa a ser el diseño del filtro FIR , es decir, encontrar sus coeficientes en función de D (nótese que siempre ), de modo que la fase se aproxime lo mejor posible al valor deseado . ^[7] ${\displaystyle A(z){\text{ and }}A(z^{-1})}$ ${\displaystyle |\centerdot |}$ ${\displaystyle A(z)}$ ${\displaystyle A(z)}$ ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle a_{0}=1}$ ${\displaystyle \measuredangle _{H_{D}(z)}=-D\omega }$

Las principales soluciones son:

• Minimización iterativa del error de fase de mínimos cuadrados, ^[2] que se define como:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|\underbrace {\underbrace {-D\omega } _{\measuredangle _{ID}}-\underbrace {(-N\omega +2\measuredangle _{A(z)})} _{\measuredangle _{H}}} _{\Delta \measuredangle _{H_{D}}}|^{2}d\omega }$

• Minimización iterativa del error de retardo de fase por mínimos cuadrados , ^[2] que se define como:

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }w(\omega )|{{\Delta \measuredangle _{H_{D}}} \over {\omega }}|^{2}}$

• Filtro de paso bajo de todos los polos de Thiran con retardo de grupo máximo plano . ^[11] Esto produce una solución cerrada para encontrar los coeficientes para el retardo positivo : ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle D>0}$

${\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}{\binom {N}{k}}\prod _{l=0}^{N}{D+l \over {D+k+l}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;\;{\binom {n}{k}}={N! \over {k!(N-k)!}}}$

Lo que sigue es una expansión de la fórmula anterior que muestra los coeficientes resultantes de orden hasta : ${\displaystyle N=3}$

Historial comercial

Línea de retardo digital Eventide DDL 1745

Las líneas de retardo digitales se utilizaron por primera vez para compensar la velocidad del sonido en el aire en 1973 para proporcionar tiempos de retardo adecuados para las torres de altavoces distantes en el festival de rock Summer Jam en Watkins Glen en Nueva York, con 600.000 personas en la audiencia. La empresa Eventide Clock Works, con sede en la ciudad de Nueva York , proporcionó dispositivos de retardo digitales, cada uno capaz de producir 200 milisegundos de retardo. Se colocaron cuatro torres de altavoces a 200 pies (60 m) del escenario, con un retraso de su señal de 175 ms para compensar la velocidad del sonido entre los altavoces del escenario principal y las torres de retardo. Se colocaron seis torres de altavoces más a 400 pies del escenario, lo que requirió 350 ms de retraso, y otras seis torres se colocaron a 600 pies del escenario, alimentadas con 525 ms de retraso. Cada módulo Eventide DDL 1745 contenía cien chips de registro de desplazamiento de 1000 bits y un convertidor digital a analógico a medida , y costaba 3.800 dólares (equivalente a 27.679 dólares en 2023). ^{[12] [13]}

Véase también

• Línea de retardo analógica
• Memoria de línea de retardo
• Interpolación

Referencias

1. "La línea de retardo de muestras M". ccrma.stanford.edu . Consultado el 6 de julio de 2023 .
2. Laakso, Timo I.; Välimäki, Vesa; Karjalainen, Matti A.; Laine, Unto K. (enero de 1996), "División del retardo de la unidad [FIR/diseño de filtros de paso total]", IEEE Signal Processing Magazine , vol. 13, núm. 1, págs. 30–60, Bibcode :1996ISPM...13...30L, doi :10.1109/79.482137
3. Smith, Julius O.; Lee, Nelson (5 de junio de 2008), "Modelado acústico computacional con retardo digital", Centro de investigación informática en música y acústica , consultado el 21 de agosto de 2007
4. "Líneas de retardo". ccrma.stanford.edu . Consultado el 6 de julio de 2023 .
5. "INTRODUCCIÓN A LOS FILTROS DIGITALES CON APLICACIONES DE AUDIO". ccrma.stanford.edu . Consultado el 6 de julio de 2023 .
6. "Interpolación ideal de banda limitada (Sinc)". ccrma.stanford.edu . Consultado el 6 de julio de 2023 .
7. Välimäki, Vesa (1998). "Modelado de tiempo discreto de tubos acústicos utilizando filtros de retardo fraccional".
8. Harris, FJ (1978). "Sobre el uso de ventanas para el análisis armónico con la transformada discreta de Fourier". Actas del IEEE . 66 (1): 51–83. doi :10.1109/proc.1978.10837. ISSN  0018-9219. S2CID  426548.
9. Hermanowicz, E. (1992). "Fórmulas de explicitud para coeficientes de ponderación de retardos FIR ajustables de máxima planitud". Electronics Letters . 28 (20): 1936. doi :10.1049/el:19921239.
10. Smith, Julius (5 de septiembre de 2022). "Fórmula explícita para los coeficientes de interpolación de Lagrange". ccrma ​​.
11. Thiran, J.-P. (1971). "Filtros digitales recursivos con retardo de grupo máximo plano". IEEE Transactions on Circuit Theory . 18 (6): 659–664. doi :10.1109/TCT.1971.1083363. ISSN  0018-9324.
12. Nalia Sanchez (29 de julio de 2016), "Recordando el Festival Watkins Glen", Eventide Audio , consultado el 20 de febrero de 2020
13. "DDL 1745 Digital Delay". Eventide Audio . Consultado el 22 de julio de 2023 .

Lectura adicional

• Valimaki, Vesa; Laakso, Timo; Karjalainen, Matti; Laine, hasta (1996). "División del retraso de la unidad". Revista de procesamiento de señales IEEE . 13 (1): 30–60. Código Bib : 1996 ISPM...13...30L. doi :10.1109/79.482137 – a través de IEEE Explore.
• Harris, Frederic J. (enero de 1978). "Sobre el uso de ventanas para el análisis armónico con la transformada de Fourier discreta". Actas del IEEE . 66 (1): 51–83. doi :10.1109/PROC.1978.10837. S2CID  426548 – vía IEEE Explore.

Enlaces externos

• Introducción a los filtros digitales por Julius Smith
• Procesamiento de señales de audio espectrales por Julius Smith
• Procesamiento de señales de audio físicas por Julius Smith
• Modelado de tubos acústicos en tiempo discreto mediante filtros de retardo fraccional por Valimaki Vesa