Escalado dinámico

El escalamiento dinámico (a veces conocido como escalamiento de Family-Vicsek ^[1]^[2] ) es una prueba de fuego que muestra si un sistema en evolución exhibe autosemejanza . En general se dice que una función exhibe escalamiento dinámico si satisface:

f(x,t)\sim t^{\theta }\varphi \left({\frac {x}{t^{z}}}\right).

Aquí el exponente está fijado por el requisito dimensional . El valor numérico de debe permanecer invariante a pesar de que la unidad de medida de cambie por algún factor, ya que es una cantidad adimensional. $\theta$ $[f]=[t^{\theta }]$ $f/t^{\theta }$ $t$ $\varphi$

Muchos de estos sistemas evolucionan de manera autosemejante en el sentido de que los datos obtenidos de la instantánea en cualquier momento fijo son similares a los datos respectivos tomados de la instantánea de cualquier momento anterior o posterior. Es decir, el sistema es similar a sí mismo en diferentes momentos. La prueba de fuego de tal autosimilitud la proporciona la escala dinámica.

Historia

El término "escalamiento dinámico" como uno de los conceptos esenciales para describir la dinámica de los fenómenos críticos parece originarse en el artículo fundamental de Pierre Hohenberg y Bertrand Halperin (1977), concretamente sugirieron "[...] que el vector de onda- y la susceptibilidad dependiente de la frecuencia de un ferroimán cerca de su punto de Curie puede expresarse como una función independiente de siempre que las escalas de longitud y frecuencia, así como la magnetización y el campo magnético, se reescalen mediante potencias apropiadas de ^[3] . $|T-T_{C}|$ $|T-T_{C}|$

Posteriormente, Tamás Vicsek y Fereydoon Family propusieron la idea de escalamiento dinámico en el contexto de agregación limitada por difusión ( DLA ) de clústeres en dos dimensiones. ^[2] La forma de su propuesta para el escalado dinámico fue:

f(x,t)\sim t^{-w}x^{-\tau }\varphi \left({\frac {x}{t^{z}}}\right),

donde los exponentes satisfacen la siguiente relación:

w=(2-\tau )z.

Prueba

En tales sistemas podemos definir una determinada variable estocástica dependiente del tiempo . Estamos interesados en calcular la distribución de probabilidad de en varios instantes de tiempo, es decir . El valor numérico de y el valor típico o medio de generalmente cambian con el tiempo. La pregunta es: ¿qué sucede con las correspondientes variables adimensionales? Si los valores numéricos de las cantidades dimensionales cambian, pero las cantidades adimensionales correspondientes permanecen invariantes, entonces podemos argumentar que las instantáneas del sistema en diferentes momentos son similares. Cuando esto sucede decimos que el sistema es autosemejante. $x$ $x$ $f(x,t)$ $f$ $x$

Una forma de verificar la escala dinámica es trazar variables adimensionales en función de los datos extraídos en diferentes momentos. Entonces, si todas las gráficas de vs obtenidas en diferentes momentos colapsan en una sola curva universal, entonces se dice que los sistemas en diferentes momentos son similares y obedece a un escalamiento dinámico. La idea del colapso de los datos está profundamente arraigada en el teorema de Buckingham Pi . ^[4] Esencialmente, estos sistemas pueden denominarse autosimilitud temporal, ya que el mismo sistema es similar en diferentes momentos. $f/t^{\theta }$ $x/t^{z}$ $f$ $x$

Ejemplos

Muchos fenómenos investigados por los físicos no son estáticos sino que evolucionan probabilísticamente con el tiempo (es decir, procesos estocásticos ). El universo mismo es quizás uno de los mejores ejemplos. Ha estado expandiéndose desde el Big Bang . De manera similar, el crecimiento de redes como Internet también son sistemas en constante crecimiento. Otro ejemplo es la degradación de polímeros ^[5], donde la degradación no se produce en un abrir y cerrar de ojos sino en un período de tiempo bastante largo. La propagación de virus biológicos e informáticos tampoco se produce de la noche a la mañana.

Muchos otros sistemas aparentemente dispares que exhiben escalamiento dinámico. Por ejemplo:

Cinética de agregación descrita por la ecuación de coagulación de Smoluchowski , ^[6] ^[7]^[8]^[9]^[10]
redes complejas descritas por el modelo Barabasi-Albert , ^[11]
el conjunto de Cantor cinético y estocástico , ^[12]
el modelo de crecimiento dentro de la clase de universalidad Kardar-Parisi-Zhang (KPZ); se encuentra que el ancho de la superficie exhibe escalamiento dinámico. ^[13]^[14] $W(L,t)$
La distribución del tamaño del área de los bloques de red estocástica plana ponderada (WPSL) también exhibe escala dinámica. ^{[ cita necesaria ]}
las probabilidades marginales de los procesos fraccionarios de Poisson exhiben una escala dinámica. ^[15]

Referencias

^ Familia, F .; Vicsek, T. (1985). "Escalado de la zona activa en el proceso Eden sobre redes de percolación y el modelo de deposición balística". Revista de Física A: Matemática y General . 18 (2): L75–L81. Código Bib : 1985JPhA...18L..75F. doi :10.1088/0305-4470/18/2/005.
^ ab Vicsek, Tamás; Familia, Fereydoon (7 de mayo de 1984). "Escalado dinámico para la agregación de clústeres". Cartas de revisión física . 52 (19). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1669–1672. Código bibliográfico : 1984PhRvL..52.1669V. doi :10.1103/physrevlett.52.1669. ISSN 0031-9007.
^ Hohenberg, Pierre Claude; Halperin, Bertrand Israel (1 de julio de 1977). "Teoría de los fenómenos críticos dinámicos". Reseñas de Física Moderna . 49 (3): 435–479. Código bibliográfico : 1977RvMP...49..435H. doi :10.1103/RevModPhys.49.435. S2CID 122636335.".
^ Barenblatt, GI (1996). Escalamiento, autosimilitud y asintóticas intermedias . Cambridge Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43522-2. OCLC 33946899.
^ Ziff, RM; McGrady, ED (21 de octubre de 1985). "La cinética de fragmentación y despolimerización de grupos". Revista de Física A: Matemática y General . 18 (15). Publicación del PIO: 3027–3037. Código bibliográfico : 1985JPhA...18.3027Z. doi :10.1088/0305-4470/18/15/026. hdl : 2027.42/48803 . ISSN 0305-4470.
^ van Dongen, PGJ; Ernst, MH (1 de abril de 1985). "Escalado dinámico en la cinética de la agrupación". Cartas de revisión física . 54 (13). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 1396–1399. Código bibliográfico : 1985PhRvL..54.1396V. doi :10.1103/physrevlett.54.1396. ISSN 0031-9007. PMID 10031021.
^ Kreer, Markus; Penrose, Oliver (1994). "Prueba de escalamiento dinámico en la ecuación de coagulación de Smoluchowski con núcleo constante". Revista de Física Estadística . 75 (3): 389–407. Código Bib : 1994JSP....75..389K. doi :10.1007/BF02186868. S2CID 17392921.
^ Hassan, MK; Hassan, MZ (19 de febrero de 2009). "Aparición de comportamiento fractal en agregación impulsada por condensación". Revisión física E. 79 (2): 021406. arXiv : 0901.2761 . Código bibliográfico : 2009PhRvE..79b1406H. doi :10.1103/physreve.79.021406. ISSN 1539-3755. PMID 19391746. S2CID 26023004.
^ Hassan, MK; Hassan, MZ (13 de junio de 2008). "Agregación impulsada por condensación en una dimensión". Revisión física E. 77 (6). Sociedad Estadounidense de Física (APS): 061404. arXiv : 0806.4872 . Código bibliográfico : 2008PhRvE..77f1404H. doi :10.1103/physreve.77.061404. ISSN 1539-3755. PMID 18643263. S2CID 32261771.
^ Hassan, Dr. Kamrul; Hassan, Dr. Zahedul; Islam, Nabila (24 de octubre de 2013). "Aparición de fractales en agregación con autorreplicación estocástica". Revisión física E. 88 (4): 042137. arXiv : 1307.7804 . Código bibliográfico : 2013PhRvE..88d2137H. doi : 10.1103/physreve.88.042137. ISSN 1539-3755. PMID 24229145. S2CID 30562144.
^ Hassan, M. Kamrul; Hassan, M Zahedul; Pavel, Neeaj I (4 de abril de 2011). "Escalado dinámico, colapso de datos y autosimilitud en redes Barabási-Albert". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 44 (17). Publicación IOP: 175101. arXiv : 1101.4730 . Código Bib : 2011JPhA...44q5101K. doi :10.1088/1751-8113/44/17/175101. ISSN 1751-8113. S2CID 15700641.
^ Hassan, MK; Pavel, NI; Pandita, RK; Kurths, J. (2014). "Conjunto diádico de Cantor y su contraparte cinética y estocástica". Caos, solitones y fractales . 60 . Elsevier BV: 31–39. arXiv : 1401.0249 . Código Bib : 2014CSF....60...31H. doi :10.1016/j.caos.2013.12.010. ISSN 0960-0779. S2CID 14494072.
^ Kardar, Mehran; Parisi, Giorgio; Zhang, Yi-Cheng (3 de marzo de 1986). "Escalado dinámico de interfaces en crecimiento". Cartas de revisión física . 56 (9): 889–892. Código bibliográfico : 1986PhRvL..56..889K. doi :10.1103/PhysRevLett.56.889. PMID 10033312..
^ D'souza, Raissa M. (1997). "Anomalías en simulaciones de deposición balística del vecino más cercano". Revista Internacional de Física Moderna C. 08 (4). World Scientific Pub Co Pte Lt: 941–951. Código bibliográfico : 1997IJMPC...8..941D. doi :10.1142/s0129183197000813. ISSN 0129-1831.
^ Kreer, Markus (2022). "Una prueba elemental del escalamiento dinámico para ciertos procesos de Poisson fraccionarios no homogéneos". Cartas de estadística y probabilidad . 182 (61). Elsevier BV: 109296. arXiv : 2103.07381 . doi :10.1016/j.spl.2021.109296. ISSN 0167-7152. S2CID 232222701.