División eficiente y libre de envidias

La eficiencia y la equidad son dos objetivos principales de la economía del bienestar . Dado un conjunto de recursos y un conjunto de agentes, el objetivo es dividir los recursos entre los agentes de una manera que sea a la vez eficiente en el sentido de Pareto (EP) y libre de envidia (FE). El objetivo fue definido por primera vez por David Schmeidler y Menahem Yaari ^[1] . Posteriormente, se ha demostrado la existencia de tales asignaciones en diversas condiciones.

Existencia de asignaciones PEEF

Suponemos que cada agente tiene una relación de preferencia sobre el conjunto de todos los paquetes de bienes. Las preferencias son completas, transitivas y cerradas. De manera equivalente, cada relación de preferencia puede representarse mediante una función de utilidad continua. ^{[2] : 79}

Preferencias débilmente convexas

Teorema 1 (Varian): ^{[2] : 68} Si las preferencias de todos los agentes son convexas y fuertemente monótonas , entonces existen asignaciones PEEF.

Demostración : La demostración se basa en la existencia de un equilibrio competitivo con ingresos iguales. Supongamos que todos los recursos de una economía se dividen equitativamente entre los agentes. Es decir, si la dotación total de la economía es , entonces cada agente recibe una dotación inicial . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i\in 1,\dots ,n:}$ ${\displaystyle E_{i}=E/n}$

Como las preferencias son convexas , el modelo de Arrow-Debreu implica que existe un equilibrio competitivo, es decir, existe un vector de precios y una partición tal que: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$

• (CE) Todos los agentes maximizan sus utilidades dado su presupuesto. Es decir, si entonces . ${\displaystyle P\cdot Y\leq P\cdot X_{i}}$ ${\displaystyle Y\preceq _{i}X_{i}}$
• (EI) Todos los agentes tienen el mismo ingreso en los precios de equilibrio: para todos . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{i}=P\cdot X_{j}}$

Una asignación de este tipo es siempre EF. Demostración: por la condición (EI), para cada . Por lo tanto, por la condición (CE), . ${\displaystyle i,j:P\cdot X_{j}\leq P\cdot X_{i}}$ ${\displaystyle X_{j}\preceq _{i}X_{i}}$

Dado que las preferencias son monótonas , cualquier asignación de este tipo también es EP, ya que la monotonía implica insaciabilidad local . Véanse los teoremas fundamentales de la economía del bienestar .

Ejemplos

Todos los ejemplos implican una economía con dos bienes , x e y, y dos agentes, Alice y Bob. En todos los ejemplos, las utilidades son débilmente convexas y continuas.

A. Muchas asignaciones de PEEF: la dotación total es (4,4). Alice y Bob tienen utilidades lineales , que representan bienes sustitutos :

${\displaystyle u_{A}(x,y)=2x+y}$,

${\displaystyle u_{B}(x,y)=x+2y}$.

Nótese que las utilidades son débilmente convexas y fuertemente monótonas. Existen muchas asignaciones PEEF. Si Alice recibe al menos 3 unidades de x, entonces su utilidad es 6 y no envidia a Bob. De manera similar, si Bob recibe al menos 3 unidades de y, no envidia a Alice. Por lo tanto, la asignación [(3,0);(1,4)] es PEEF con utilidades (6,9). De manera similar, las asignaciones [(4,0);(0,4)] y [(4,0.5);(0,3.5)] son ​​PEEF. Por otro lado, la asignación [(0,0);(4,4)] es EP pero no FE (Alice envidia a Bob); la asignación [(2,2);(2,2)] es FE pero no EP (las utilidades son (6,6) pero pueden mejorarse, por ejemplo, a (8,8)).

B. Asignación PEEF esencialmente única: la dotación total es (4,2). Alice y Bob tienen utilidades Leontief , que representan bienes complementarios :

${\displaystyle u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\min(x,y)}$.

Nótese que las utilidades son débilmente convexas y sólo débilmente monótonas. Aún así, existe una asignación PEEF. La asignación igual [(2,1);(2,1)] es PEEF con vector de utilidad (1,1). EF es obvio (toda asignación igual es EF). Con respecto a PE, nótese que ambos agentes ahora sólo quieren y, por lo que la única forma de aumentar la utilidad de un agente es tomar algo de y del otro agente, pero esto disminuye la utilidad del otro agente. Si bien hay otras asignaciones PEEF, por ejemplo [(1.5,1);(2.5,1)], todas tienen el mismo vector de utilidad de (1,1), ya que no es posible dar a ambos agentes más de 1. ^[3]

Condiciones topológicas en el espacio de asignaciones eficientes

Las asignaciones PEEF existen incluso cuando las preferencias de los agentes no son convexas. Existen varias condiciones suficientes que están relacionadas con la forma del conjunto de asignaciones correspondientes a un perfil de utilidad eficiente específico. Dado un vector de utilidad u, definamos A(u) = el conjunto de todas las asignaciones para las cuales el perfil de utilidad es u. Los siguientes teoremas, sucesivamente más generales, fueron demostrados por diferentes autores:

Teorema 2 (Varian): ^{[2] : 69} Supongamos que las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas . Si, para cada perfil de utilidad débilmente eficiente en el sentido de Pareto u, el conjunto A(u) es un singleton (es decir, no hay dos asignaciones WPE tales que todos los agentes sean indiferentes entre ellas), entonces existen asignaciones PEEF.

La prueba utiliza el lema de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz .

Nota : Las condiciones del Teorema 1 y del Teorema 2 son independientes - ninguna de ellas implica a la otra. Sin embargo, la convexidad estricta de las preferencias implica ambas. Es obvio que la convexidad estricta implica una convexidad débil (Teorema 1). Para ver que implica la condición del Teorema 2, supongamos que hay dos asignaciones diferentes x,y con el mismo perfil de utilidad u. Definamos z = x/2+y/2. Por convexidad estricta, todos los agentes prefieren estrictamente z a x y a y. Por lo tanto, x e y no pueden ser EP débil.

Teorema 3 (Svensson): ^[4] Si las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas , y para cada perfil de utilidad PE u, el conjunto A(u) es convexo, entonces existen asignaciones PEEF.

La prueba utiliza el teorema de punto fijo de Kakutani .

Nota : si las preferencias de todos los agentes son convexas (como en el teorema 1), entonces A(u) obviamente también es convexa. Además, si A(u) es un único agente (como en el teorema 2), entonces obviamente también es convexa. Por lo tanto, el teorema de Svensson es más general que ambos teoremas de Varian.

Teorema 4 (Diamantaras): ^[5] Si las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas , y para cada perfil de utilidad PE u, el conjunto A(u) es un espacio contráctil (puede encogerse continuamente hasta un punto dentro de ese espacio), entonces existen asignaciones PEEF.

La prueba utiliza un teorema de punto fijo de Eilenberg y Montgomery. ^[6]

Nota: Todo conjunto convexo es contráctil, por lo que el teorema de Diamantaras es más general que los tres anteriores.

Optimalidad sigma

Svensson demostró otra condición suficiente para la existencia de asignaciones de PEEF. Nuevamente, todas las preferencias están representadas por funciones de utilidad continuas. Además, todas las funciones de utilidad son continuamente diferenciables en el interior del espacio de consumo.

El concepto principal es sigma-optimalidad . Supongamos que creamos, para cada agente, k copias con preferencias idénticas. Sea X una asignación en la economía original. Sea Xk una asignación en la economía k-replicada donde todas las copias del mismo agente reciben el mismo paquete que el agente original en X. La asignación X se llama sigma-óptima si para cada k , la asignación Xk es Pareto-óptima.

Lema: ^{[7] : 528} Una asignación es sigma-óptima, si y sólo si es un equilibrio competitivo .

Teorema 5 (Svensson): ^{[7] : 531} si todas las asignaciones Pareto-óptimas son sigma-óptimas, entonces existen asignaciones PEEF.

Aumento de los rendimientos marginales

Las asignaciones PEEF podrían no existir incluso cuando todas las preferencias sean convexas, si hay producción y la tecnología tiene rendimientos marginales crecientes.

Proposición 6 (Vohra) : ^[8] Existen economías en las que todas las preferencias son continuas, fuertemente monótonas y convexas, la única fuente de no convexidad en la tecnología se debe a los costos fijos y no existe asignación de PEEF.

Así, la presencia de rendimientos crecientes introduce un conflicto fundamental entre eficiencia y equidad.

Sin embargo, la ausencia de envidia puede debilitarse de la siguiente manera. Una asignación X se define como esencialmente libre de envidia (EEF) si, para cada agente i , existe una asignación factible Yi con el mismo perfil de utilidad (todos los agentes son indiferentes entre X e Yi) en la que el agente i no envidia a nadie. Obviamente, toda asignación EF es EEF, ya que podemos tomar Yi como X para todos los i.

Teorema 7 (Vohra): ^[8] Supongamos que las preferencias de todos los agentes son fuertemente monótonas y están representadas por funciones de utilidad continuas. En ese caso, existen asignaciones de funciones de utilidad económica eficientes en el sentido de Pareto.

Inexistencia de asignaciones PEEF

Preferencias no convexas

Las asignaciones PEEF podrían no existir incluso sin producción, cuando las preferencias no son convexas.

A modo de ejemplo, supongamos que la dotación total es (4,2) y que Alice y Bob tienen utilidades cóncavas idénticas:

${\displaystyle u_{A}(x,y)=u_{B}(x,y)=\max(x,y)}$.

La asignación igualitaria [(2,1);(2,1)] es EF con vector de utilidad (2,2). Además, toda asignación EF debe dar a ambos agentes una utilidad igual (ya que tienen la misma función de utilidad) y esta utilidad puede ser como máximo 2. Sin embargo, ninguna asignación de este tipo es EP, ya que está dominada por Pareto por la asignación [(4,0);(0,2)] cuyo vector de utilidad es (4,2).

La no existencia permanece incluso si debilitamos la ausencia de envidia hasta la no dominación: ningún agente obtiene más de cada bien que otro agente.

Proposición 8 (Maniquet): ^[9] Existen economías de división de 2 bienes y 3 agentes con preferencias estrictamente monótonas, continuas e incluso diferenciables, donde hay dominación en toda asignación eficiente en el sentido de Pareto.

Encontrar una asignación PEEF

Para dos agentes, el procedimiento ganador ajustado es un procedimiento simple que encuentra una asignación PEEF con dos propiedades adicionales: la asignación también es equitativa y, como máximo, se comparte un solo bien entre los dos agentes.

Para tres o más agentes con utilidades lineales, cualquier asignación óptima de Nash es PEEF. Una asignación óptima de Nash es una asignación que maximiza el producto de las utilidades de los agentes o, equivalentemente, la suma de los logaritmos de las utilidades. Encontrar una asignación de este tipo es un problema de optimización convexa :

${\displaystyle {\text{maximize}}\sum _{i=1}^{n}\log(u_{i}(X_{i}))~~~{\text{such that}}~~~(X_{1},\ldots ,X_{n})~~~{\text{is a partition}}~~~}$.

y por lo tanto se puede encontrar de manera eficiente. El hecho de que cualquier asignación óptima de Nash sea PEEF es cierto incluso en el contexto más general de reparto justo de los beneficios . ^[10]

Demostración : Consideremos un trozo infinitesimal de pastel, Z . Para cada agente i , la contribución infinitesimal de Z a es ${\displaystyle \log(u_{i}(X_{i}))}$

${\displaystyle u_{i}(Z)\cdot {d\log(u_{i}(X_{i})) \over d(u_{i}(X_{i}))}={u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}}$.

Por lo tanto, la regla óptima de Nash asigna cada pieza Z a un agente j para el cual esta expresión es la más grande:

${\displaystyle \forall j\in [n]:Z\subseteq X_{j}\iff \forall i\in [n]:{u_{j}(Z) \over u_{j}(X_{j})}\geq {u_{i}(Z) \over u_{i}(X_{i})}}$

Sumando todos los subconjuntos infinitesimales de X _j , obtenemos:

${\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{j}(X_{j}) \over u_{j}(X_{j})}\geq {u_{i}(X_{j}) \over u_{i}(X_{i})}}$

Esto implica la definición de asignación libre de envidia:

${\displaystyle \forall i,j\in [n]:{u_{i}(X_{i})}\geq {u_{i}(X_{j})}}$

Véase también

• Teorema de Weller : sobre la existencia de asignaciones PEEF en el corte de pastel.
• Se pueden encontrar más teoremas relacionados de Hal Varian en. ^[11]
• Los teoremas sobre las asignaciones de PEEF en economías con producción se pueden encontrar en ^{[12] .}
• Cálculo del equilibrio del mercado : algoritmos para calcular un equilibrio competitivo que sea a la vez justo y eficiente.
• Tao y Cole ^[13] estudian la existencia de asignaciones aleatorias PEEF cuando las utilidades son no lineales (pueden tener complementos).
• Diamantaras y Thomson ^[14] estudian un refinamiento y una extensión de la ausencia de envidia, que existe (junto con el PE) en muchas economías en las que no existe una asignación de PEEF.

Referencias

1. David Schmeidler y Menahem Yaari (1971). "Asignaciones justas". Mimeo.
2. Hal Varian (1974). "Equidad, envidia y eficiencia". Journal of Economic Theory . 9 : 63–91. doi :10.1016/0022-0531(74)90075-1. hdl : 1721.1/63490 .
3. ^{: 70} aparece una economía similar como ejemplo de que no existe una asignación PEEF. Probablemente se trate de un error tipográfico: el "min" debería ser "max", como en el ejemplo C a continuación. Véase este hilo de intercambio de información económica.
4. Svensson, Lars-Gunnar (1 de septiembre de 1983). "Sobre la existencia de asignaciones justas". Zeitschrift für Nationalökonomie . 43 (3): 301–308. doi :10.1007/BF01283577. ISSN  0044-3158. S2CID  154142919.
5. Diamantaras, Dimitrios (1992-06-01). "Sobre la equidad en los bienes públicos". Elección social y bienestar . 9 (2): 141–157. doi :10.1007/BF00187239. ISSN  0176-1714. S2CID  154016094.
6. Eilenberg, Samuel; Montgomery, Deane (1946). "Teoremas de punto fijo para transformaciones multivaluadas". American Journal of Mathematics . 68 (2): 214–222. doi :10.2307/2371832. JSTOR  2371832.
7. Svensson, Lars-Gunnar (1994). "σ-Optimalidad y equidad". Revista Económica Internacional . 35 (2): 527–531. doi :10.2307/2527068. JSTOR  2527068.
8. Vohra, Rajiv (1992-07-01). "Equidad y eficiencia en economías no convexas". Elección social y bienestar . 9 (3): 185–202. doi :10.1007/BF00192877. ISSN  0176-1714. S2CID  29307358.
9. Maniquet, François (1999-12-01). "Una fuerte incompatibilidad entre eficiencia y equidad en economías no convexas". Journal of Mathematical Economics . 32 (4): 467–474. doi :10.1016/S0304-4068(98)00067-6. ISSN  0304-4068.
10. Segal-Halevi, Erel; Sziklai, Balázs R. (26 de mayo de 2018). "Monotonicidad y equilibrio competitivo en el corte de tartas". Teoría Económica . 68 (2): 363–401. arXiv : 1510.05229 . doi :10.1007/s00199-018-1128-6. ISSN  1432-0479. S2CID  253711877.
11. Varian, Hal R. (1976). "Dos problemas en la teoría de la equidad" (PDF) . Journal of Public Economics . 5 (3–4): 249–260. doi :10.1016/0047-2727(76)90018-9. hdl : 1721.1/64180 .
12. Piketty, Thomas (1994-11-01). "Existencia de asignaciones justas en economías con producción". Revista de Economía Pública . 55 (3): 391–405. doi :10.1016/0047-2727(93)01406-Z. ISSN  0047-2727.
13. Cole, Richard; Tao, Yixin (1 de abril de 2021). "Sobre la existencia de asignaciones eficientes en el sentido de Pareto y libres de envidia". Journal of Economic Theory . 193 : 105207. arXiv : 1906.07257 . doi :10.1016/j.jet.2021.105207. ISSN  0022-0531. S2CID  189999837.
14. Diamantaras, Dimitrios; Thomson, William (1 de julio de 1990). "Un refinamiento y extensión del concepto de no envidia". Economics Letters . 33 (3): 217–222. doi :10.1016/0165-1765(90)90004-K. ISSN  0165-1765.